- •Белкоопсоюз
- •Удк 51 ббк 22.11
- •Пояснительная записка
- •Программа курса
- •1. Случайные события и вероятность
- •2. Случайные величины и законы их распределения
- •3. Нормальный закон распределения
- •1. События и вероятности
- •1.1. Классификация событий
- •1.2. Классическое определение вероятности
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.3. Статистическое определение вероятности
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.4. Геометрическое определение вероятности
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.5. Действия над событиями
- •Сложение и умножение вероятностей. Теоремы сложения вероятностей
- •Теоремы умножения вероятностей
- •Вероятность произведения зависимых событий
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.6. Формула полной вероятности. Формула Бейеса
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.7. Повторные независимые испытания
- •Формула Бернулли
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Простейший поток событий
- •Локальная теорема Лапласа
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Интегральная теорема Лапласа
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Наивероятнейшее число появлений события
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2. Случайные величины
- •2.1. Понятие случайной величины
- •2.2. Функция распределения
- •Основные свойства функции распределения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.3. Числовые характеристики дискретных случайных величин
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.4. Плотность распределения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.5. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.6. Законы распределения непрерывных случайных величин
- •Равномерное распределение
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Нормальное распределение
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Показательное распределение
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.7. Функция одной случайной величины
- •3. Система двух случайных величин
- •3.1. Условные законы распределения вероятностей составляющих дискретной двумерной случайной величины
- •3.2. Числовые характеристики системы двух случайных величин
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Индивидуальные задания
- •Список рекомендуемой литературы
- •Приложения
Задачи для самостоятельного решения
1. Из партии товаров, в которой 31 изделие без дефекта, а 6 – с дефектами, товаровед наудачу берет 3 изделия. Чему равна вероятность следующих событий:
1) все 3 изделия без дефекта;
2) по крайней мере, одно изделие без дефекта?
Ответ: 1) P(A) = 0,579; 2) P(B) = 0,9973.
2. Бросают две игральные кости. Найти вероятность того, что:
1) выпадет сумма очков, равная 8-ми;
2) выпадет сумма очков, не превышающая 8-ми;
3) выпадет сумма очков, большая 8-ми;
4) ни на одной из игральных костей не выпадет число очков равное 6-ти;
5) хотя бы на одной из игральных костей выпадет число очков равное 6-ти;
6) хотя бы на одной из игральных костей выпадет четное число очков;
7) на обеих костях выпадет одинаковое число очков;
8) на обеих костях выпадет четное число очков;
9) выпадет произведение очков, равное 8-ми;
10) сумма выпавших очков больше, чем их произведение?
Ответ:1) 0,139; 2) 0,689; 3) 0,311; 4) 0,694; 5) 0,306; 6) 0,583; 7) 0,167; 8) 0,25; 9) 0,055; 10) 0,274.
3. Товаровед осматривает партию игрушек, в которой из 20 штук 2 бракованных. Какова вероятность того, что:
1) одна наугад взятая игрушка бракованная;
2) из трех наугад одновременно взятых игрушек: а) только одна бракованная; б) не более одной бракованной?
Ответ:1) 0,1; 2 а) 0,27; 2 б) 0,98.
4. Из букв слова «ротор», составленного с помощью разной азбуки, наудачу последовательно извлекаются 3 буквы и складываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «тор»?
Ответ:0,067.
5. На шести одинаковых карточках написаны буквы «а», «в», «к», «м», «о», «с». Какова вероятность того, что извлекая все карточки по одной наугад, получим слово «Москва?
Ответ: .
6. В книжной лотерее разыгрываются 20 билетов, из которых 2 выигрышных. Какова вероятность того, что из трех купленных билетов хотя бы на один выпал выигрыш?
Ответ: .
7. Для проверки магазинов нужно 3 ревизора, каждый из которых должен проверить два магазина. Чему равна вероятность того, что при случайном распределении объектов первому ревизору попадут данные 2 магазина?
Ответ:0,0667.
8. Собрание, на котором присутствует 25 человек, в том числе 5 женщин, выбирает делегацию из трех человек. Считая, что каждый из присутствующих с одинаковой вероятностью может быть избран, найти вероятность того, что в делегацию войдут две женщины и один мужчина.
Ответ: P(A) = 0,087.
1.3. Статистическое определение вероятности
На практике часто классическое определение вероятности неприменимо, так как оно предполагает, что число элементарных исходов испытания конечно, а результат испытания можно представить в виде совокупности элементарных, равновозможных исходов. Поэтому используют статистическое определение вероятности.
Относительная частота W(A) события A есть отношение числа испытаний, в которых событие A появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний:
, (11)
где n – общее число произведенных испытаний;
m – число появлений события A.
Пример 1.11. Частота нормального всхода семян равна 0,97. Из высеянных семян взошло 970. Рассчитать, сколько семян было высеяно.
Решение. Из формулы (11) . Так как m = 970, W = 0,97, то . Следовательно, было высеяно 1000 семян.
Пример 1.12. В партии из 1000 изделий товаровед обнаружил 15 бракованных. Определить, чему равна относительная частота появления брака.
Решение. Так как m = 15, n = 1000, то .