Локальная теорема Лапласа

Вычисление P_n(k) по формуле Бернулли при больших n и k связаны с арифметическими трудностями, поэтому при n > 50 пользуются приближенной формулой Муавра-Лапласа:

, . (36)

Значения p и q имеют тот же смысл, что и в формуле Бернулли.

–функция вероятностей; (x) = (–x).

Значения функции (x) приведены в прил. 1.

Пример 1.28. Игральную кость бросают 800 раз. Какова вероятность того, что число очков, кратное трем выпадет 267 раз?

Решение. Вероятность выпадения числа очков, кратное трем равна , . По локальной формуле Лапласа (36) находим:

, .

По таблице значений (прил. 1) определяем (0,025) = 0,3989, P₈₀₀(267) = 0,03.

Пример 1.29. Средний процент нарушения работы кинескопа телевизора в течение гарантийного срока равен 12. Какова вероятность того, что из 100 телевизоров 96 отработают гарантийный срок?

Решение. Вероятность нарушения работы кинескопа q = 0,12, поэтому вероятность нормальной работы кинескопа равна p = 1 – 0,12 = = 0,88. Вероятность того, что из 100 телевизоров 96 будут работать составит:

, .

, .

Пример 1.30. Автоматическая штамповка деталей дает 10 % отклонений от принятого стандарта. Какое количество стандартных деталей следует ожидать из 400 деталей, если вероятность их появления равна 0,0587?

Решение. Обозначим через k число стандартных деталей во всей партии. Так как вероятность появления стандартной детали p = 0,9, а брака q = 0,1, то по теореме Лапласа имеем:

.

Из полученного уравнения (x) = 0,0587 · 6 = 0,3522. По таблице прил. 1 найденному значению функции (x) = 0,3522 соответствует значение аргумента, равное x = 0,5.

; .

Отсюда k = 360 + 3 = 363.

Задачи для самостоятельного решения

1. В урне смешаны 80 % белых и 20 % красных шаров. Сколько красных шаров с вероятностью p = 0,09 можно ожидать среди 100 наудачу выбранных шаров?

Ответ:81.

2. Орудие при выстреле поражает цель с вероятностью 0,8. Какова вероятность того, что при 100 выстрелах орудия произошло 80 попаданий?

Ответ:0,099.

3. Сколько раз с вероятностью 0,0484 можно ожидать появления события A в 100 независимых испытаниях, если вероятность его появления в отдельном испытании равна 0,5?

Ответ:55.

Интегральная теорема Лапласа

Если вероятность наступления события A в каждом из независимых испытаний постоянна и 0 < p < 1, то вероятность того, что в n испытаниях событие произойдет от k₁ до k₂ (при достаточно большом n) равна

, (37)

где ;

–функция Лапласа.

Функция Лапласа Φ(х) существует при любом действительном значении x. Свойства функции:

1) функция Лапласа – нечетная функция, т. е. Φ(–х) = – Φ(х);

2) при возрастании х от 0 до 5 Φ(х) возрастает от 0 до 0,5. Для x > 5 Φ(х)0,5.

Таблица значений Φ(х) для находится в прил. 2.

Пример 1.31. На оптовую базу поступает в среднем 70 % продукции высшего сорта. Какова вероятность того, что в партии из 1000 изделий проверенных товароведом, число изделий высшего сорта, заключено между 652 и 760?

Решение. Событие A – «появление изделия высшего сорта», вероятность наступления события в отдельном испытании равна p = 0,7. Требуется найти: P₁₀₀₀(652;760) = Φ(х₂) – Φ(х₁).

Расчет производим по следующей схеме:

; ;

;

; .

По таблице прил. 2 определяем:

Ф(х₁) = Ф(–3,31) = –0,4991; Ф(х₂) = Ф(4,14) = 0,4999.

Искомая вероятность Р₁₀₀₀(652; 760) = 0,4999 + 0,4991 = 0,999.

Пример 1.32. Посажено 400 деревьев. Какова вероятность того, что число прижившихся деревьев больше 250, если вероятность того, что отдельное дерево приживется, равна 0,8?

Решение. Число прижившихся деревьев должно удовлетворять неравенству , поэтому вероятность этого события равна:

Р₄₀₀(250; 400) = Ф(х₁) – Ф(х₂) = 0,999.