- •1.1. Основные этапы решения задач с помощью эвм
- •1.2. Погрешности результатов численного решения задач
- •1.3. Основные требования к алгоритмам и программному обеспечению
- •2.1. Метод дихотомии (деления отрезка пополам)
- •2.2. Метод хорд
- •2.3. Метод простой итерации
- •2.4. Метод Ньютона
- •2.5. Модификации метода Ньютона
- •3.1. Основные понятия вычислительной линейной алгебры
- •3.2. Некоторые точные методы решения слау
- •3.3. Итерационные методы решения слау
- •3.4. Вычисление собственных значений матрицы
- •4.1. Постановка задачи интерполяции
- •4.2. Полиномиальная интерполяция. Формула Лагранжа
- •4.3. Разделенные разности и интерполяционная формула Ньютона
- •4.4. Кусочно-полиномиальная интерполяция
- •4.4. Программы решения задач интерполяции с помощью Matlab
- •5.1. Численное дифференцирование
- •5.2. Погрешности методов численного дифференцирования
- •5.3. Численное интегрирование. Простейшие методы
- •5.4. Метод Ньютона-Котеса и его модификация
- •5.5. Методы Монте-Карло
- •6.1. Решение пере- и недоопределенных слау
- •6.2. Примеры решение переопределенной слау методом наименьших квадратов Пусть
- •6.3. Метод наименьших квадратов для регрессионного анализа
- •Задание к главе 6
- •7.1. Методы решения задачи Коши
- •7.2. Методы Рунге-Кутта решения задачи Коши
- •7.3. Решение краевой задачи для оду
- •Задания к главе 7
- •8.1. Решения дифференциальных уравнений первого порядка
- •8.2. Решения дифференциальных уравнений параболического типа
- •8.3. Решение дифференциальных уравнений эллиптического типа
- •8.4. Решение дифференциальных уравнений гиперболического типа
8.4. Решение дифференциальных уравнений гиперболического типа
К дифференциальным уравнениям гиперболического типа приводят задачи колебания струны, движения сжимаемого газа, распространение возмущения электромагнитных полей и многие другие. Рассмотрим одномерную задачу на примере решения задачи малых колебаний натянутой струны с распределенной по длине нагрузкой :
, (8.33)
где – смещение струны относительно положения равновесия, а– константа, имеющая размерность скорости. Запишем начальные и краевые условия этой задачи (ограничимся краевыми условиями первого рода):
(8.34)
где , а.
Составим несложную, но достаточно эффективную разностную схему решения этой задачи. Выберем прямоугольную и для простоты равномерную сетку с шагом по времени равным (узел) и по координате–(узел). Введем обозначения,,и. Аппроксимируя производные конечными разностями, получим трехслойную схему
, (8.35)
или, вводя обозначение ,
. (8.36)
Здесь индекс , а граничные условия будут иметь вид
. (8.37)
Данную схему по форме шаблона называют схемой «крест»:
(i,j+1)
|
(i-1,j) — (i,j) — (i+1,j)
|
(i,j-1)
Организация вычисления по этой схеме достаточно проста. На нулевом слое решение известно из начального условия с. На первом слое решение также можно вычислить, используя второе начальное условие в виде разностного уравнения,
, (8.38)
откуда
. (8.39)
Устойчивость этой схемы для однородного уравнения исследуем методом разделения переменных. Основная идея этого метода состоит в том, что исследуется решение на слое в виде комплексной гармоники и рассматривается ее поведение. При этом если модуль множителя (коэффициента) роста гармоники больше единицы при переходе со слоя на слой, то процесс считают неустойчивым, а соответствующий алгоритм не сходится. В соответствии с этим положим
(8.40)
где – номер гармоники, – множитель роста, а – мнимая единица. Подставим выражения (8.40) в уравнения (8.35) или (8.36) и сократим на, тогда получим уравнения для определения множителя роста:
. (8.41)
Условием устойчивости является . По теореме Виета произведение корней этого уравнения. Следовательно, условие устойчивости может быть выполнено, если. Для уравнения с действительными коэффициентами это означает, что корни образуют комплексно сопряженную пару, это означает, что дискриминант уравнения не должен быть положительным:
. (8.42)
Чтобы это условие выполнялось для любых гармоник, необходимо и достаточно соблюдение условия Куранта . Таким образом, схема «крест» условно устойчива.
Построим более сложную, но хорошую схему, которая устойчива при любых значениях . В схеме решения (8.35) вторая производная по координате аппроксимирована в слое с номером , составим уравнение, в котором эта производная представлена в виде суммы с весамив слоях,и:
(8.43)
Для того чтобы все веса были неотрицательны, необходимо потребовать . В граничных узлах решение определяется из краевых условий, организация счета аналогична схеме «крест». Кроме этого, данная схема является неявной, при построении расчетов относительнополучаем систему линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей коэффициентов.
Исследуем устойчивость этой схемы методом разделения переменных. Делая подстановку (8.40), получаем уравнение для множителя роста:
, (8.44)
где
.
На основании тех же рассуждений, что и для схемы крест, можно сделать вывод: устойчивость будет только при комплексно сопряженных корнях, т.е. при . Отсюда вытекает условие устойчивости схемы:
. (8.45)
Из этого неравенства видно, что при схема – условно устойчива, а присхема – безусловно устойчива. Отметим, что присхема (8.43) переходит в схему крест.
Задания к главе 8
8.1. Методом сеток решить уравнение теплопроводности с начальным и граничными , условиями, где .
Применяя явную схему, найти распределение температуры , соответствующее различным моментам времени (в различных слоях сетки). Используя разные значения параметра , сравнить полученные результаты. Отдельно исследовать, как влияет несоблюдение условия устойчивости схемы на результаты вычислений, приняв .
Применяя неявную схему, получить систему линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей и, решая эту систему методом прогонки, последовательно получить значения функции для различных значений .
№ вар-та |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
2,5 |
3,0 |
3,5 |
4,0 |
4,5 |
5,0 |
5,5 |
6,0 |
6,5 |
7,0 | |
1,0 |
1,2 |
1,4 |
1,6 |
1,8 |
2,0 |
2,2 |
2,4 |
2,6 |
2,8 | |
1 |
2 |
-1 |
1 |
-1 |
2 |
3 |
-2 |
1 |
2 | |
2 |
1 |
2 |
-2 |
1 |
3 |
2 |
1 |
-2 |
5 |
8.2. Найти распределение потенциала внутри коробки прямоугольного сечения , если граниизаряжены до потенциала и , соответственно, а грани изаземлены.
№ вар-та |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
8.3. Решить уравнение гиперболического типа, используя схему «крест», в области .
№ вар-та |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
1 |
0 | ||||
0 |
0 | ||||
0 |
0 | ||||
0 |
0 | ||||
0 |
0 |
* Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Основы математического анализа: Ч.2, М.: Наука, 1980.-С.50