Задание к главе 6

Решить задачи 4.1-4.10, построив полином третьей степени. Для решения составить систему из восьми линейных алгебраических уравнений относительно искомых коэффициентов полинома и решить эту систему методом наименьших квадратов.

7. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ) описывается множество физических явлений: задачи движения системы взаимодействующих материальных точек, химической кинетики, электрических цепей, сопротивления материалов и многие другие. Некоторые важные задачи также сводятся к уравнениям в частных производных. Таким образом, решение ОДУ занимает важное место среди прикладных задач физики, химии и техники.

Конкретная прикладная задача может приводить к дифференциальному уравнению любого порядка, однако ОДУ -го порядка

(7.1)

можно привести к эквивалентной системе дифференциальных уравнений первого порядка путем введения новых переменных:

(7.2)

где . Поэтому очень важно уметь решать ОДУ первого порядка.

Различают три основных типа задач для обыкновенных дифференциальных уравнений: задачи Коши (задача с начальными условиями), краевые задачи и задачи на собственные значения. Ограничимся рассмотрением методов только первых двух задач. При этом будем предполагать, что решение существует, единственно и обладает необходимым свойством гладкости, т.е. искомая функция столько раз может быть продифференцирована, сколько это необходимо.

7.1. Методы решения задачи Коши

Для решения задачи Коши рассмотрим ОДУ первого порядка, тогда формулировка задачи выглядит следующим образом: требуется найти непрерывную при функцию, удовлетворяющую дифференциальному уравнению

(7.3)

и начальному условию

, (7.4)

где – известная функция двух аргументов. Если функцияопределена в прямоугольникеи удовлетворяет в областипо переменнойусловию Липшица:

(7.5)

для всех и, то задача (7.3) имеет единственное решение.

Для решения задачи Коши введем по переменному равномерную сетку с шагом, т.е. рассмотрим множество точек. Будем обозначать черезточное решение, а через– приближенное. Отметим, что приближенное решение является сеточной функцией, т.е. определено только в точках сетки.

Рассмотрим простейшие численные методы, получаемые из наглядных соображений. Пусть известно значение и требуется вычислить значение. Рассмотрим равенство

. (7.6)

Считая промежуток достаточно малым, заменим интеграл в правой части по формуле левых прямоугольников на, при этом погрешность будет иметь порядок. Получим

, (7.7)

т.к. , то

. (7.8)

Принимая, что и, получаемявную формулу Эйлера для решения задачи Коши

. (7.9)

Аналогично, используя формулу правых прямоугольником для аппроксимации интеграла в (7.6), получим неявную формулу Эйлера

. (7.10)

Для получения более точной расчетной формулы необходимо более точно аппроксимировать интеграл в правой части (7.6). Воспользуемся формулой трапеций с погрешностью

, (7.11)

что с учетом (7.3) приводит к соотношению

. (7.12)

Полученная расчетная формула называется неявной формулой Адамса второго порядка точности

. (7.13)

В некоторых случаях, когда линейна по, уравнение (7.13) может быть разрешено относительно. Обычно же это уравнение неразрешимо явно, поэтому используют следующий алгоритм нахождения решения, использующий метод простой итерации,

.

Здесь – номер итерации, а начальное приближение можно определить по явной формуле Эйлера

.

Фактически необходимо сделать одну или две итерации для достижения заданной точности.