5.5. Методы Монте-Карло

Методы Монте-Карло используются в основном для вычисления кратных интегралов. В принципе такие интегралы можно вычислить и повторным применением выше изложенных методов. Однако с повышением кратности интеграла резко возрастает объем вычислительной работы. Методы статистических испытаний (методы Монте-Карло) свободны от этого недостатка, хотя и обеспечивают сравнительно невысокую точность. Существует большое количество вариантов этих методов. Рассмотрим два из них.

Первый из них можно интерпретировать как статистический вариант метода прямоугольников, когда в качестве узла берется случайное число, равномерно распределенное в интервале интегрирования . Вследствие случайности узла погрешность также будет носить случайный характер. Проведя вычислений с такими случайными узлами, усредняем результат, который и принимаем за приближенное значение интеграла,

. (5.48)

Погрешность вычисления будет уменьшаться с ростом числа используемых узлов расчета функции по закону . Графическая иллюстрация метода представлена на рисунке 5.5.

Рисунок 5.5. Статистический вариант метода прямоугольников

Формула (5.48) обобщается на случай кратных интегралов

. (5.49)

Здесь – -мерный объем области интегрирования . Число узлов, в которых необходимо вычислять подынтегральную функцию, будет пропорционально .

Во втором варианте метода Монте-Карло интеграл приводится к виду

, (5.50)

где находится в интервале . Тогда две случайные величины и можно рассматривать как координаты точек в единичном квадрате (рисунок 5.8). При равномерном распределении точек в квадрате за приближенное значение интеграла принимается отношение количества точек , попавших под кривую , к общему числу испытаний

. (5.51)

Этот алгоритм также обобщается на кратные интегралы.

Рисунок 5.8. Метод статистических испытаний

Задание к главе 5

1. Оценить порядок погрешности формулы (5.15) по малому параметру .

2. Оценить совместную погрешность вычисления второй производной по формуле (5.15).

Составить алгоритм и программу вычисления а) первой производной по формулам (5.2)-(5.4); б) второй производной по формуле (5.15). Построить графики и сравнить их (заданы таблицы функций)

5.3.

x	y	x	y	x	y
1,0	1,2661	1,7	1,8640	2,4	3,0493
1,1	1,3262	1,8	1,9896	2,5	3,2898
1,2	1,3937	1,9	2,1277	2,6	3,5533
1,3	1,4693	2,0	2,2796	2,7	3,8417
1,4	1,5534	2,1	2,4463	2,8	4,1573
1,5	1,6467	2,2	2,6291	2,9	4,5027
1,6	1,7500	2,3	2,8296	3,0	4,8808

5.4.

x	y	x	y	x	y
0,4	0,4000	1,6	8,7826	2,8	23,3808
0,6	1,4848	1,8	10,6967	3,0	26,6819
0,8	2,6811	2,0	12,7945	3,2	30,2945
1,0	3,9983	2,2	15,0926	3,4	34,2479
1,2	5,4465	2,4	17,6093	3,6	38,5741
1,4	7,0371	2,6	20,3647	3,8	43,3084

Составить алгоритм и программу и вычислить интеграл по формулам а) левых; б) правых; в) средних прямоугольников с указанным числом разбиений интегрируемого отрезка (совместно решить задачи пункта а) и б); а) и в), б) и в), результаты сравнить)

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

Составить алгоритм и программу и вычислить интеграл по формулам а) Симпсона; б) Монте-Карло с указанным числом разбиений интегрируемого отрезка

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

Составить алгоритм и программу, вычислить интегралы и построить графики функций с шагом по (метод интегрирования выбрать самостоятельно)

14. , (интегральный синус)

15. , (функция Френеля)

16. , (функция Лобачевского)

6. Метод наименьших квадратов

Будем рассматривать систему линейных алгебраических уравнений вида

. (6.1)

Из курса линейной алгебры известно, что в том случае, когда и число уравнений равно числу неизвестных система имеет единственное решение. На практике часто встречаются задачи, в которых либо число уравнений не совпадает с числом неизвестных, либо матрицаили векторзаданы не полностью или не точно. Решение таких задач строится методом наименьших квадратов (МНК).