Задания к главе 7
7.1.
Решить методом Эйлера и методом
Рунге-Кутта ОДУ на отрезке
с числом узлов не менее 50. Сравнить
результаты. Построить график найденного
решения.
|
№ вар-та |
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
1 |
1 |
|
2 |
|
1 |
1,5 |
2 |
|
3 |
|
0 |
1 |
|
|
4 |
|
0 |
0,5 |
0 |
|
5 |
|
1 |
2 |
0 |
|
6 |
|
2 |
2,5 |
1 |
|
7 |
|
1 |
2 |
1 |
|
8 |
|
1 |
1,5 |
0 |
|
9 |
|
0 |
0,5 |
0 |
|
10 |
|
0 |
0,3 |
0 |
7.2. Найти решение краевой задачи для ОДУ. Решить полученную систему линейных алгебраических уравнений методом прогонки. Построить график найденного решения.
|
№ вар-та |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
0,5 |
1,5 |
1 |
0 |
2 |
3 |
0.5 |
2 |
|
2 |
|
2 |
|
0 |
1 |
1 |
–0,5 |
1 |
0 |
2 |
1 |
|
3 |
|
1 |
|
0 |
1 |
1 |
2 |
0 |
1 |
0,4 |
1,5 |
|
4 |
|
1 |
|
0 |
1 |
2 |
–1 |
1 |
0 |
1 |
3 |
|
5 |
2 |
|
|
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
–0,5 |
0,2 |
1,5 |
|
6 |
|
–2 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
0,4 |
–1 |
0,5 |
1,5 |
|
7 |
|
–0,4 |
|
0,5 |
1,5 |
1 |
0,3 |
0 |
1 |
0,6 |
1,8 |
|
8 |
3 |
|
|
1 |
2 |
0 |
1 |
2 |
–1 |
2,5 |
0,5 |
|
9 |
|
2 |
|
1,5 |
2,5 |
1 |
0,7 |
1 |
0 |
2,5 |
0,4 |
|
10 |
|
|
0,8 |
1 |
2 |
1 |
–0,5 |
0 |
1 |
1 |
2,8 |
8. Разностные методы решения задач математической физики
Решение многих задач, например, уравнение диффузии, теплопроводности, колебаний, распределения потенциала, переноса и др., приводит к линейным дифференциальным уравнениям в частных производных. Обычно порядок таких дифференциальных уравнений не превышает двух. Напомним, что порядком дифференциального уравнения называется порядок его старшей производной. Ограничимся рассмотрением уравнений, где неизвестная функция зависит от двух переменных, тогда в общем случае такие уравнения будут иметь вид:
, (8.1)
где
,
,
,
,
,
,
– функции переменных
и
или константы,
– искомая функция,
– ее частные производные. Если
,
и
тождественно равны нулю, то это уравнение
первого порядка, иначе – второго. Если
функция
равна нулю, то это однородное
дифференциальное уравнение, иначе –
неоднородное. Дифференциальные уравнения
второго порядка классифицируются по
знаку дискриминанта
, (8.2)
при
уравнения называются уравнениями
гиперболического типа, при
– уравнениями параболического типа и
при
– эллиптического.
Одним из эффективных методов численного решения таких уравнений является конечно-разностный метод. Использование этого метода предполагает отыскание решения в узлах некоторой сетки, на которую разбивается изучаемая область. При этом предполагается, что при стремлении шага сетки к нулю решение сходится. Вопрос об устойчивости решения будем исследовать либо, используя принцип максимума, либо методом разделения переменных.