Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Методические указания по БЖД

.pdf
Скачиваний:
13
Добавлен:
21.04.2015
Размер:
577.08 Кб
Скачать

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 5.1

ТАБЛИЦА СОСТОЯНИЙ МАЖОРИТАРНОЙ СИСТЕМЫ «2 ИЗ

№№

Состояние элементов

Состояние

Вероятность

состояния

состояний

 

 

 

 

 

системы

1

2

3

4

5

системы

 

 

1

+

+

+

+

+

+

p5

2

+

+

+

+

+

 

3

+

+

+

+

+

p4q = p4(1 – p)

4

+

+

+

+

+

5

+

+

+

+

+

 

6

+

+

+

+

+

 

7

+

+

+

+

 

8

+

+

+

+

 

9

+

+

+

+

 

10

+

+

+

+

 

11

+

+

+

+

p3q2 = p3(1 – p)2

12

+

+

+

+

 

13

+

+

+

+

 

14

+

+

+

+

 

15

+

+

+

+

 

16

+

+

+

+

 

17

+

+

+

 

18

+

+

+

 

19

+

+

+

 

20

+

+

+

 

21

+

+

+

p2q3 = p2(1 – p)3

22

+

+

+

 

23

+

+

+

 

24

+

+

+

 

25

+

+

+

 

26

+

+

+

 

27

+

 

28

+

pq4 = p(1 – p)4

29

+

30

+

 

31

+

 

32

q5 = (1 – p)5

Q = q5 + 5pq4 = (1 – p)5 + 5p(1 – p)4 = 1 – 10 p2 + 20p3 – 15 p4 + 4p5.

(18)

Тогда вероятность безотказной работы

 

P = 1 – Q = 10p2 – 20 p3 +15p4 – 4 p5.

(19)

Для расчета надежности систем типа «m из n» можно также воспользоваться комбинаторным методом, в основе которого лежит формула биноминального распределения. Вероятность события, при котором из общего количества

элементов n работоспособность сохраняют k элементов, составляет

 

 

Рk = C nk pk(1 – p)n-k,

(20)

где Сk

– биномиальный коэффициент из n по k (см.приложение):

 

n

 

 

 

 

 

Сnk =

n!

(21)

 

 

.

 

 

k!(n − k )!

 

11

Если для сохранения работоспособности системы необходимо и достаточно, чтобы работоспособность сохраняли не менее m элементов из n (то есть k m), то для расчета надежности системы по теореме сложения вероятностей необходимо просуммировать вероятности состояний, обеспечивающих работоспособность:

n

n

 

 

Р = Pk

= Cnk pk (1 − p)n k

(22)

k =m

k =m

 

 

Для системы «2 из 5» (рис.4) по формуле (22) получим

 

Р = С52 р2(1 – р)3 + С53 р3(1 – р)2 + С54 р4(1 – р) + С55 р5 =

 

= 10р2(1 – р)3 + 10р3(1 – р)2 + 5р4(1 –

р) + р5 = 10р2 – 20 р3 + 15р4 – 4 р5.

(23)

Аналогичным образом можно найти вероятность отказа

 

 

m −1

m −1

 

Q = Pk =

Cnk pk (1 − p)n k .

(24)

 

k =0

k =0

 

Кроме рассмотренных методов расчета надежности систем типа «m из n» можно воспользоваться также методом логических схем (разд.2.4).

В табл.2 приведены формулы для расчета вероятности безотказной работы систем «m из n» при mn≤5. Очевидно, при m = 1 система превращается в сис-

тему с параллельным соединением, при m = n

с последовательным.

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 5.2

 

ВЕРОЯТНОСТЬ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ МАЖОРИТАРНЫХ СИСТЕМ

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

Общее число элементов, n

 

1

2

3

4

 

5

 

1

p

2p–p 2

3p–3 p2+p3

4p–6 p2+4p3p4

 

5p–10 p2+10p3–5 p4+p5

 

2

-

p2

3p2–2 p3

6p2–8 p3+3p4

 

10p2–20 p3+15p4–4 p5

 

3

-

-

p3

4p3–3 p4

 

10p3–15 p4+6p5

 

4

-

-

-

p4

 

5p4–4 p5

 

5

-

-

-

-

 

p5

2.4. Мостиковые системы

Работоспособность мостиковой системы (рис.5) определяется не только количеством работоспособных элементов, но их положением в структурной схеме. Например, потеря работоспособности технической системы, схема которой показана на рис.5 а, обусловлена одновременным отказом элементов 1 и 2, или 4 и 5, или 1 , 3 и 5, или 2, 3 и 4 и т. д., в то же время отказ элементов 1 и 5 или 2 и 4 или 1, 3 и 4, или 2, 3 и 5 к отказу системы не приводит.

Для расчета надежности мостиковых систем можно воспользоваться методом прямого перебора (разд.2.3), но при анализе работоспособности каждого состояния системы необходимо исходить не только из числа отказавших элементов, но и их положения в схеме, и в соответствии с этим определять принадлежность состояния системы к подмножествам работоспособных или неработоспособных (табл.3).

12

 

 

1

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

4

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

5

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p,“.5.8. l%“2,*%"/ “,“2 м/

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СОСТОЯНИЯ МОСТИКОВОЙ СИСТЕМЫ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№№

Состояние элементов

Состояние

 

 

Вероятность

 

 

состояния

1

2

3

 

4

 

5

системы

 

 

состояния системы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

+

+

+

 

+

+

+

 

p1p2p3p4p5

 

 

p5

 

 

2

 

 

+

+

+

 

+

 

-

+

 

p1p2p3p4q5

 

 

p5q =

 

 

3

 

 

+

+

+

 

+

+

 

 

p1p2p3q4p5

 

 

 

 

4

 

 

+

+

 

 

+

+

+

 

 

p1p2q3p4p5

 

= p4(1 – p)

 

 

5

 

 

+

 

+

 

+

 

 

+

+

 

 

p1q2p3p4p5

 

 

 

6

 

 

+

+

 

 

+

+

+

 

 

q1p2p3p4p5

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

+

+

+

 

 

-

 

 

p1p2p3q4q5

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

+

+

 

 

+

 

 

-

+

 

 

p1p2q3p4q5

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

+

 

+

 

+

 

 

-

+

 

 

p1q2p3p4q5

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

+

+

 

+

 

 

-

+

 

 

q1p2p3p4q5

 

 

p3q2 =

 

 

11

 

+

+

 

 

 

+

+

 

 

p1p2q3q4p5

 

 

 

 

12

 

+

 

+

 

 

+

+

 

 

p1q2p3q4p5

 

= p3(1 – p)2

 

 

13

 

+

+

 

 

+

+

 

 

q1p2p3q4p5

 

 

 

14

 

+

 

 

 

+

 

 

+

+

 

 

p1q2q3p4p5

 

 

 

 

 

 

 

 

15

 

+

 

 

+

 

 

+

+

 

 

q1p2q3p4p5

 

 

 

 

 

 

 

 

16

 

 

+

 

+

 

 

+

-

 

 

q1q2p3p4p5

 

 

 

 

 

 

 

 

17

 

+

+

 

 

 

-

 

 

p1p2q3q4q5

 

 

 

 

 

 

 

 

18

 

+

 

+

 

 

-

 

 

p1q2p3q4q5

 

 

 

 

 

 

 

 

19

 

+

+

 

 

-

 

 

q1p2p3q4q5

 

 

 

 

 

 

 

 

20

 

+

 

 

 

 

+

-

 

 

p1q2q3q4p5

 

 

p2q3 =

 

 

21

 

+

 

 

 

+

+

 

 

q1p2q3q4p5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22

 

 

 

 

+

 

 

+

-

 

 

q1q2q3p4p5

 

= p2(1 – p)3

 

 

23

 

+

 

 

 

+

 

 

-

+

 

 

p1q2q3p4q5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24

 

+

 

 

+

 

 

-

 

 

q1p2q3p4q5

 

 

 

 

 

 

 

 

25

 

 

+

 

 

+

-

 

 

q1q2p3q4p5

 

 

 

 

 

 

 

 

26

 

 

+

 

+

 

 

-

 

 

q1q2p3p4q5

 

 

 

 

 

 

 

 

27

 

+

 

 

 

 

 

p1q2q3q4q5

 

 

 

 

 

 

 

 

28

 

+

 

 

 

 

q1p2q3q4q5

 

 

pq4 =

 

 

29

 

 

+

 

 

 

q1q2p3q4q5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= p(1 – p)4

 

 

30

 

 

 

 

+

 

 

 

q1q2q3p4q5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

31

 

 

 

 

+

 

q1q2q3q4p5

 

 

 

 

 

 

 

 

32

 

 

 

 

q1q2q3q4q5

 

q5 = (1 – p)5

 

 

13

Вероятность безотказной работы системы

Р= р1р2р3р4р5 + р1р2р3р4q5 + p1p2p3q4p5 + p1p2q3p4p5 + p1q2p3p4p5 +

+q1p2p3p4p5 + p1p2q3p4q5 + p1q2p3p4q5 + q1p2p3p4q5 + p1p2q3q4p5 +

+ p1q2p3q4p5 + q1p2p3q4p5 + p1q2q3p4p5 + q1p2q3p4p5 +

 

+ q1q2q3p4p5 + p1q2q3p4q5.

(25)

Для равнонадежных элементов

 

Р = р5 + 5p4q + 8p3q2 + 2p2q3 = p5 + 5p4(1 – p) + 8p3(1 – p)2 +

 

+ 2p2(1 – p)3 = 2p5 – 5 p4 + 2p3 + 2p2

(26)

Для анализа надежности технических систем, структурные схемы которых не сводятся к последовательному или параллельному соединению, можно воспользоваться также методом логических схем с применением алгебры логики (булевой алгебры). Логические схемы применимы к широкому кругу технических систем с разнообразными связями и сочетаниями элементов. Применение метода сводится к составлению формулы алгебры логики, которая определяет условие работоспособности системы. При ее составлении для каждого элемента и системы в целом рассматриваются два несовместных события – отказ и сохранение работоспособности.

Для составления логической схемы можно воспользоваться двумя метода-

ми – минимальных путей и минимальных сечений.

Минимальным путем называется последовательный набор работоспособных элементов системы, который обеспечивает ее работоспособность, а отказ любого из них приводит к ее отказу. Минимальных путей в системе может быть один или несколько. Очевидно, система с последовательным соединением имеет только один минимальный путь, включающий все ее элементы. В системе с параллельным соединением элементов число минимальных путей совпадает с числом элементов, и каждый включает один из них.

Для мостиковой системы (рис.5а) минимальных путей четыре: 1) элементы 1 и 4; 2) 2 и 5; 3) 1 и 3; 4) 2, 3 и 4. Логическая схема такой системы (рис.6) составляется таким образом, чтобы все элементы каждого минимального пути были соединены друг с другом последовательно, а все минимальные пути – параллельно.

Затем для логической схемы составляется функция алгебры логики Аn по правилам расчета вероятности безотказной работы, но вместо символов вероятностей безотказной работы элементов рi используются символы событий (со-

хранения работоспособности элемента) аi:

 

Аn = 1 – (1 – a1a4)(1 – a2a5)(1 – a1a3a5)(1 – a2a3a4).

(27)

В выражении (27) переменные аi рассматриваются как альтернативные (или булевы) и, следовательно, могут принимать только два значения: 1 или 0. Отсюда следует, что при возведении в степень любая переменная аi сохраняет

свое значение и ain = аin–1 = … =

ai2 = ai. Воспользовавшись этим свойством, по-

сле преобразований получим функцию алгебры логики в виде

 

Аn = а1а4 + а2а5 + а1а3а5 + а1а3а5 + а2а3а4 а1а2а3а4 а1а2а3а5

 

– 2 а1а2а4а5

а2а3а4а5 + 2а1а2а3а4а5

(28)

Заменив в выражении (28) символы событий аi их вероятностями рi, получим уравнение для определения вероятности безотказной работы системы:

14

 

1

 

4

 

 

 

 

 

1

 

 

 

4

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

3

 

 

1

3

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

5

 

 

 

5

 

 

4

 

 

2

3

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.6. Логическая схема мостиковой

Рис.7. Логическая схема мостиковой системы

системы (метод минимальных путей)

 

 

(метод минимальных сечений)

 

 

 

 

Рn = р1р4 + р2р5 + р1р3р5 + р1р3р5 + р2р3р4 р1р2р3р4 р1р2р3р5

 

 

 

 

 

– 2 р1р2р4р5

р2р3р4р5 + 2р1р2р3 р4р5

 

 

 

 

(29)

Для системы из элементов с одинаковой вероятностью безотказной работы уравнение (29) легко преобразуется в формулу (26).

Метод минимальных путей дает точное значение вероятности безотказной работы только для сравнительно простых систем с небольшим числом элементов. Для более сложных систем метод дает только ее приближенную нижнюю оценку. Для расчета верхней оценки вероятности безотказной работы системы можно использовать метод минимальных сечений, который является в определенном смысле альтернативным методу минимальных путей.

Минимальным сечением называется последовательный набор неработоспособных элементов, отказ которых приводит к отказу системы, а восстановление любого из них – к восстановлению работоспособности. Минимальных сечений в системе может быть один или несколько. Система с параллельным соединением имеет одно минимальное сечение, включающее все ее элементы, в системе с последовательным соединением число минимальных сечений совпадает с числом элементов и каждое сечение включает один из них.

Для мостиковой системы (рис.5а) минимальных сечений четыре: 1) элементы 1 и 2; 2) 4 и 5; 3) 1, 3 и 5; 4) 2, 3 и 4. Логическая схема такой системы (рис.7) составляется таким образом, чтобы элементы каждого минимального сечения были соединены друг с другом параллельно, а все минимальные сечения – последовательно.

Затем последовательность действий аналогична методу минимальных пу-

тей. Составляется функция алгебры логики:

a1)(1 – a3)(1 – a5)] ×

А0 = [1 – (1 – a1)(1 – а2)][1 – (1 – a4)(1 – a5)][1 – (1 –

× [1 – (1 – a2)(1 – a3)(1 – a4)],

(30)

которая после преобразований с использованием свойств альтернативных переменных приобретает форму (28), после замены событий аi их вероятностями рi получаем выражение (29), которое для системы с элементами равной надежности приобретает вид (26).

Таким образом, для мостиковой системы верхняя оценка вероятности безотказной работы, полученная методом минимальных сечений, и нижняя, полученная методом минимальных путей, совпали с точным значением (26). Однако для более сложных систем, состоящих из разных по надежности элементов, этого может и не произойти. Поэтому для получения оценочных границ веро-

15

ятности безотказной работы методами минимальных путей и минимальных сечений целесообразно пользоваться совместно.

Составление логических схем аналогично составлению функции алгебры логики, причем последовательное или параллельное соединение событий в логической схеме соответствует логическому умножению («И») или логическому сложению («ИЛИ») событий. Так логическая схема метода минимальных путей (рис.6) формулирует условие сохранения работоспособного состояния системы, последовательное соединение событий соответствует логическому «И», параллельное – « ИЛИ». То есть схема соответствует утверждению: система работоспособна, если работоспособны элементы 1 и 4, или 2 и 5, или 1, 3 и 5, или 2, 3 и 4. Логическая схема метода минимальных сечений (рис. 7) наоборот, формулирует условия отказа системы и в ней последовательное соединение соответствует логическому «ИЛИ», а параллельное – логическому «И». То есть схема (рис. 7) соответствует формулировке: система откажет, если откажут элементы 1 и 2, или 4 и 5, или 1, 3 и 5, или 2, 3 и 4.

В некоторых случаях для анализа надежности технических систем целесо-

образно воспользоваться методом разложения относительно особого эле-

мента, основанного на известной из математической логики теореме о разложении функции логики по любому аргументу, которая может быть сформулирована следующим образом:

Р = рiР(рi = 1) + qiP(pi = 0),

(31)

где Р(рi = 1) – вероятность работоспособного состояния системы при условии, что i-й элемент абсолютно надежен; Р(рi = 0) – та же вероятность при условии, что i-й элемент абсолютно ненадежен, то есть отказал.

Для мостиковой схемы (рис.5а) в качестве особого элемента целесообразно выбрать элемент 3. При р3=1 схема превращается в параллельно-

последовательное соединение (рис.8а), при

р3=0 – в

последовательно-

параллельное (рис.8б):

 

 

 

Р(р3=1) = (1 – q1q2)(1– q4q5) = [1–(1 –

p1)(1 –

p2)][1–(1–(1 –

p4)(1 – p5)], (32)

Р(р3 = 0) = 1 – (1 –

р1р4)(1 –

р2р5).

(33)

Тогда

Р = р3[1 – (1– p1)(1– p2)][1 – (1– p4)(1– p5)] + (1– p3)[1 – (1– p1p4)(1– p2p5)]. (34)

Легко убедиться, что для идентичных по надежности элементов формула (34) совпадает с формулой (26).

Формулой (31) можно воспользоваться и при разложении относительно нескольких особых элементов, например, для двух элементов:

Р = рipjP(pi=1, pj=1) + piqjP(pi=1, pj=0) + qipjP(pi=0, pj=1) + qiqjP(pi=0, pj = 0). (35)

Для мостиковой системы с двумя особыми элементами (рис.5б) при разложении относи-

тельно элементов 3 и 6 формула (35) примет следующий вид:

 

Р = р3р6Р(р3=1,р6=1) + р3q6P(p3=1,p6=0) + q3p6P(p3=0, p6=1) + q3q6P(p3=0,p6=0).

(36)

Для идентичных по надежности элементов

 

Р = р2[1 – (1 – p)2]3 + 2p(1 – p)[1 – (1 – p)2][1 – (1 – p2)2] + (1 – p)2[1 – (1 – p3)2].

(37)

1

4

2

5

1

2

4

5

а)

б)

Рис.8. Преобразования мостиковой схемы при абсолютно надежном (а) и отказавшем (б) центральном элементе

16

2.5. Комбинированные системы

Большинство технических систем имеет сложную комбинированную структуру, часть элементов которой образует последовательное соединение, часть – параллельное, некоторые образуют системы типа «m из n» или мостиковые системы. В этих случаях целесообразно предварительно произвести декомпозицию системы, разбив ее на подсистемы – группы элементов, методика расчета надежности которых известна. Затем эти подсистемы в схеме надежности заменяются элементами с характеристиками, равными характеристикам этих подсистем. При необходимости эту процедуру можно произвести несколько раз до тех пор, пока оставшиеся элементы не образуют систему, методика расчета надежности которой известна.

Например,

 

в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

системе

на

 

рис.9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

элементы 2 и 5, 4 и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

7, 9 и 12, 11 и 14 по-

1

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19

 

 

парно образуют друг

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с другом последова-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тельное соединение,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

 

 

 

 

 

 

14

 

 

 

 

 

18

 

 

 

 

 

 

 

 

элементы 15,

16,

17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и 18 – параллельное,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а элементы 3,

6,

8,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.9. Исходная комбинированная система

 

 

 

 

 

10 и 13 –

систему «3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

из 5».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заменив эти группы эле-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ментов элементами, соответст-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

венно, A, B, C, D, E и F, получим

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

преобразованную

 

систему

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(рис.10а), в которой, в свою оче-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

редь, элементы A, B, C, D, F об-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

разуют мостиковую схему, заме-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нив которую квазиэлементом G,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

G

 

 

 

 

E

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

получим систему (рис.10б), в ко-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

торой элементы 1, G, E и 19 об-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

разуют последовательное соеди-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нение. Теперь можно по извест-

 

 

 

Рис.10. Преобразования комбинированной системы

ным формулам или с использо-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ванием известных методов последовательно рассчитать вероятности безотказной работы всех подсистем и системы в целом.

2.6. Многофункциональные системы

Для оценки надежности технических систем, предназначенных для выполнения нескольких функций, обычно приходится определять вероятность безотказной работы системы по каждой функции. При этом для каждой функции приходится составлять свою структурную схему надежности.

17

 

1

 

 

 

 

Например, система подачи топ-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

лива (рис.11), состоящая из двух

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

фильтров 1 и 2, насоса 3 и форсунки

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

4, выполняет две основные функции:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

подачи и очистки топлива. Как уже

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

отмечалось (разд.1), отказ фильтров

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

может происходить по двум основ-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ным причинам – засорения или раз-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рыва фильтрующей

поверхности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поэтому для каждого

из фильтров

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

возможны три состояния: работоспо-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.11. Принципиальная схема

собное, отказ по засорению и отказ

 

 

системы подачи топлива

по разрыву. Все возможные сочета-

ния состояний двух фильтров представлены в табл.4.

В зависимости от рассматриваемой функции схема надежности системы имеет разную структуру: для подачи топлива достаточно, чтобы были работоспособны насос и форсунка, а из двух фильтров хотя бы один не был засорен; для очистки топлива необходимо, чтобы были работоспособны насос и форсунка и фильтрующая поверхность обоих фильтров была целой. В первом случае фильтры соединены параллельно, во втором – последовательно (разд.1). В соответствии с этим в таблице 4 система неработоспособна по функции подачи (функция А) только тогда, когда оба фильтра неработоспособны по признаку

Таблица 4

ТАБЛИЦА СОСТОЯНИЙ СИСТЕМЫ ФИЛЬТРОВ

№№

 

Сост. элементов

Состояние системы

Вероятность

засорение

разрыв

подача

очистка

сумма

сост.

состояния системы

1-А

2-А

1-В

2-В

А

В

А+В

 

 

1

+

 

+

+

+

+

+

+

pA2pB2

2

+

 

+

+

+

pA2pBqB =

3

+

 

+

+

+

= pA2pB(1 – pB)

4

+

 

+

+

+

+

+

pApB2qB =

5

 

+

+

+

+

+

+

= pApB2(1 – pA)

6

+

 

+

+

pA2qB2 = pA2(1 – pB)2

7

+

 

+

+

 

8

 

+

+

+

pApBqAqB =

9

+

 

+

+

= pApB(1 – pA)(1 – pB)

10

 

+

+

+

 

11

 

+

+

+

pB2qA2 = pB2(1 – pA)2

12

+

 

+

pAqAqB2 =

13

 

+

+

= pA(1 – pA)(1 – pB)2

14

 

+

pBqA2qB =

15

 

+

= pB(1 – pA)2(1 – pB)

16

 

qA2qB2 = (1 – pA)2(1 – pB)2

Примечание. Знаком «+» отмечено работоспособное состояние элемента по данному признаку или системы по данной функции, знаком «–» - неработоспособное. Индексом «А» обозначены параметры надежности элемента по засорению и функция подачи жидкости системы, индексом «В»- параметры по разрыву и функция очистки.

18

засорения (признак А), то есть в состояниях 11, 14, 15 и 16. Соответственно, вероятность отказа по функции подачи топлива

QA = p2Bq2A + 2pBq2AqB + q2Aq2B = q2A(pB + qB)2 = q2A.

(38)

Соответственно, система работоспособна по функции очистки (функция В) тогда, когда оба фильтра работоспособны по признаку разрыва (признак В), то есть в состояниях 1, 4, 5 и 11. Тогда вероятность безотказной работы по функции очистки топлива

PB = pA2pB2 + 2pApB2qA2 + pB2qA2 = pB2(pA + qA)2 = qB2.

(39)

Очевидно, система фильтров полностью работоспособна (то есть работоспособна по совокупности функций А и В) тогда, когда она работоспособна по обеим функциям, то есть в состояниях 1, 4 и 5. Тогда вероятность безотказной работы системы фильтров 1 и 2

PAB = pA2pB

2 + 2pApB2qA

2 = pApB

2 (2 – pA).

(40)

Общая вероятность безотказной работы системы подачи топлива

 

 

Р = РABp3p4 = pAp2B(2 – pA)p3p4.

(41)

Отметим, что в таблице состояний системы можно перечислять не все возможные состояния, а только работоспособные по данной функции или по совокупности функций. Так, например, из анализа исходной схемы (рис.11) следует, что система работоспособна по обеим функциям только в трех состояниях: все элементы работоспособны; отказ по засорению фильтра 1; отказ по засорению фильтра 2. Тогда по теореме сложения вероятностей

PAB = pA2pB2 + pAqApB2 + qApApB2 = pApB2 (2 – pA),

(42)

что совпадает с выражением (40).

3. Повышение надежности технических систем

Анализ приведенных расчетных зависимостей для определения основных характеристик надежности технических систем различных типов показывает, что надежность системы зависит от ее структуры (структурно-логической схемы) и надежности элементов. Поэтому для сложных технических систем возможны два пути повышения надежности: повышение надежности элементов и изменение ее структуры системы.

3.1.Методы повышения надежности элементов

Взависимости от назначения, характера протекающих процессов, испытываемых нагрузок и положения в структуре технической системе могут использоваться различные методы повышения надежности элементов:

- разработка или выбор высоконадежных деталей, узлов, комплектующих

идругих составных частей элементов и систем;

-оптимизация режимов функционирования элементов;

-стандартизация и унификация деталей, узлов и единиц оборудования;

-защита элементов от перегрузок;

-защита элементов от неблагоприятного воздействия перерабатываемых веществ и окружающей среды;

-создание автоматизированных систем управления и контроля;

19

-разработка и проведение научно обоснованной системы технического обслуживания и ремонта;

-автоматизация и роботомеханизация процессов изготовления деталей, узлов и единиц оборудования;

-контроль качества изготовления;

-контроль качества сборки, монтажа, ремонта и т. д.

Эффект увеличения надежности технической системы, достигаемый повышением надежности элементов, тем значительнее, чем сложнее структура системы и чем больше в ней элементов. Однако чаще всего более надежные элементы имеют большие габариты и массу, более сложную собственную структуру и, как правило, более высокую стоимость. Кроме того, осуществление некоторых методов повышения надежности элементов требует проведения достаточно сложных конструктивных, технологических, эксплуатационных и организационных мероприятий. Поэтому в каждом конкретном случае необходимо соотнести полезный эффект от повышения надежности элемента с затратами на ее осуществление.

Часто, однако, использование методов повышения надежности элементов не дает значительного эффекта или неосуществимо по различным причинам. В этих случаях повышение надежности технической системы возможно только в результате изменения ее структурной схемы.

3.2. Методы повышения структурной надежности систем

Для ряда технических систем теоретически возможно повышение надежности за счет сокращения числа элементов. Например, для системы с последовательным соединением десяти элементов при р = 0,99 уменьшение числа элементов в два раза уменьшает вероятность ее отказа также примерно в два раза (с 9,6 % до 4,9 %). Сокращение числа элементов может достигаться за счет упрощения структуры технической системы или совмещения функций нескольких элементов в одном. Однако такой способ повышения надежности системы имеет очень ограниченное применение.

Перестройка структуры технической системы с целью повышения ее надежности, как правило, означает изменение ее функциональной и конструктивной схемы (за исключением структурного резервирования) и возможно лишь в исключительных случаях.

Если конструктивные, технологические, эксплуатационные и организационные мероприятия по повышению надежности системы за счет повышения надежности ее элементов не дают желаемого эффекта или вообще неосуществимы, могут использоваться различные способы резервирования.

Резервирование – применение дополнительных средств и (или) возможностей с целью сохранения работоспособного состояния объекта при отказе одного или нескольких элементов. К таким средствам и возможностям относятся функциональные, алгоритмические, программные и информационные резервы, использование избытка времени, запасов нагрузочной способности элементов и т. д., а также введение в структуру схемы резервных элементов. В соответствии с этим различаются несколько видов резервирования.

20