- •1.Предмет теории вероятностей.Случайные события,классификация.
- •2.Классическое определение вероятности.Св-ва вероятности.
- •4.Геометрические вероятности.
- •5.Cумма вероятностей несовместимых событий.
- •6.Полная группа событий.Противоположные события.
- •7.Условная вероятность.
- •8.Вероятность произведения событий
- •9.Сумма вероятностей совместных событий
- •10.Формулы полной вероятности и Бейеса.
- •11.Повторение испытаний,формула Бернулли.
- •12. Предельные формулы Пуассона и Муавра-Лапласа.
- •13.Определение случайно велечины.Дискретные и непрерывные случайные величины.Закон рапсределения вероятностей дискретной случайной величины.
- •14.Биноминальное распределение
- •15.Математическое ожидание.Св-ва.
- •16.Математическое ожидание дискретной и непрерывной случайной величины. Способы вычисления дисперсии. Основные свойства дисперсии.
- •17. Функцией распределения вероятностей случайной величины, ее свойства.
- •18. Плотность распределения вероятностей непрерывноей случайной велечины, ее свойства.
- •19.Равномерное распределение,числовые хар-ки.
- •21. Нормальное распределение, его числовые характеристики. Нормальная кривая.
- •22.Функция Лапласа и ее св-ва.Вычисление вероятности попадания в интервал нормально распределенной случайной велечины.Правило трех сигм.
- •23. Понятие о центральной предельной теореме (теорема Ляпунова).
- •24.Задачи математической статистики.
- •25. Генеральная совокупность и выборка. Объём выборки. Способы отбора.
- •26. Построение полигона и гистограммы. Свойства гистограммы частот и относительных частот.
- •27. Точечные статистические оценки параметров. Несмещённость, эффективность и состоятельность оценки.
- •28. Генеральная и выборочная средняя.
- •29. Генеральная и выборочная дисперсия. Исправленная дисперсия. Стандарт.
- •30. Интервальные статистические оценки параметров. Надёжность, доверительный интервал.
- •31.Построение дов интервала для оценки мат ожидания нормального распределения o
- •32.Статистическяа гипотеза.Нулевая конкурируюющая,простая,сложная гипотезы.Ошибки 1го,2го рода.
- •33.Критерйи солгасия.Согласие Пирсона.
- •34.Функциональная,статистическая,корреляционная зависимость.
- •35.Линейная регрессия.
- •36.Коррялиционный момент.
16.Математическое ожидание дискретной и непрерывной случайной величины. Способы вычисления дисперсии. Основные свойства дисперсии.
Отклонением называю разность между случ.величиной и ее мат.ожиданием X-M(X)
Теорема 1. Мат.ожидание отклонения равно нулю. M(x-M(x))=0 Док-во:M(x)=m(m-const)
M(x-m)=M(x+(-m)=M(x)+M(-m)=0 по св-ву 4 где M(x)=m, аM(-m)=-m
Дисперсией – наз-ся мат. ожидание кв. отклонения этой величины от ее мат. ожидания.замечание:
Средним квад. отклонением наз-ся корень из дисперсии
Теорема 2 . Дисперсия равна разность между мат.ожиданием кв.случайной величины и кв ее мат . ожиданию док-во M(x) = m = const
Дисперсией непрерывной случ. величины наз. мат. ожидание квадрата ее отклонения.
.
Свойства дисперсии:
1)D(c)=0 c-const; 2) D(cX)=*D(x); 3)D(x+y)=D(x)+D(y); 4)D(x-y)=D(x) - D(y) 4); D(x)=прq
17. Функцией распределения вероятностей случайной величины, ее свойства.
Функцией распределения называют ф-цию опред. Вероятность того что случайная величина Х в результате испытания примет значение меньшего числах.
F(x)=P(X< x) где Х – значение случайной величины, х – число
Св-вo1: F(x);
Св-вo2:М(х) – не убывающая функция
Если , то
Док-во:
F()=P(x< )=P(x< )+P() гдеP(x< ) – это F()
F()=F()=P()
След. P()=F(b)-F(a)
P(x=a)=0
Следствие1.Вероятность того,что случайная величина примет значение,заключенное в интервале(а,в)=приращению функции распределения на этом интервале
Р(a</x</b)=F(b)-F(a)
P(x=a)=0
Следствие2.Вероятность того,что непрерывная случайная величина Х примет одно опеределнное значение=0
Св-вo3: если возможное значение случайной величины х принадлежит интервалу отaдоb, то F(x)=0, xaи F()=1,xb
Следствие.Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси х,то справедливы следующие предельные соотношения:
lim F(x)=0;lim F(x)=1
18. Плотность распределения вероятностей непрерывноей случайной велечины, ее свойства.
Плотностью распределения вероятности непрерывной случ велечины наз. Ф-цию f(x) которая явлется первой пройзводной от функции распределенияF(x)
f(x)=F’(x) гдеf(x)- функция плотности дифференц. ,F’(x) – интегральная функция распределения
F(x)
Теорема: Вероятность того что непрерывная случайная величина примет значение в интервале от а до b. P()=F(b) -F(a)
Ньютона – Лейбница F(b) -F(a)=
Св 1: f(x)≥0
f(x)=F’(x), гдеF’(x) – неубыв.
Св 2: ↔
.
Нормальная кривая.
График плотности нормального распределения-нормальная кривая(кривая Гаусса)
19.Равномерное распределение,числовые хар-ки.
Равномерное-если на интервале,которому принадлежит все возможные значения случ величины,плотность распределения сохраняет постоянное значение.
.f(x)
c
a b x
.c(b-a) = 1
пусть x≤a
пусть a<x≤b
пусть x˃b
.F(x)
1
abx
20.показательно распределение, его числовые характеристики. Функция надежности.
f(x)=f(x)
(ƛ˃0 x
пусть х≤0
пусть х˃0
.F(x)
1
M(x)=
.
=
M(x)==˃ ƛ=
D(x)= M(
σ(x)==
M(x)=σ(x)=
Длительность безотказной работы элементов/элементов/аппаратов и т.д. обычно имеет показательное распределение. Вероятность отказа за время t вычисляется по формуле
F(t)=1-,t˃0, а вероятность отказа или функция надежность по:
R(t)=1 – F(t) = 1- (1