- •1.Предмет теории вероятностей.Случайные события,классификация.
- •2.Классическое определение вероятности.Св-ва вероятности.
- •4.Геометрические вероятности.
- •5.Cумма вероятностей несовместимых событий.
- •6.Полная группа событий.Противоположные события.
- •7.Условная вероятность.
- •8.Вероятность произведения событий
- •9.Сумма вероятностей совместных событий
- •10.Формулы полной вероятности и Бейеса.
- •11.Повторение испытаний,формула Бернулли.
- •12. Предельные формулы Пуассона и Муавра-Лапласа.
- •13.Определение случайно велечины.Дискретные и непрерывные случайные величины.Закон рапсределения вероятностей дискретной случайной величины.
- •14.Биноминальное распределение
- •15.Математическое ожидание.Св-ва.
- •16.Математическое ожидание дискретной и непрерывной случайной величины. Способы вычисления дисперсии. Основные свойства дисперсии.
- •17. Функцией распределения вероятностей случайной величины, ее свойства.
- •18. Плотность распределения вероятностей непрерывноей случайной велечины, ее свойства.
- •19.Равномерное распределение,числовые хар-ки.
- •21. Нормальное распределение, его числовые характеристики. Нормальная кривая.
- •22.Функция Лапласа и ее св-ва.Вычисление вероятности попадания в интервал нормально распределенной случайной велечины.Правило трех сигм.
- •23. Понятие о центральной предельной теореме (теорема Ляпунова).
- •24.Задачи математической статистики.
- •25. Генеральная совокупность и выборка. Объём выборки. Способы отбора.
- •26. Построение полигона и гистограммы. Свойства гистограммы частот и относительных частот.
- •27. Точечные статистические оценки параметров. Несмещённость, эффективность и состоятельность оценки.
- •28. Генеральная и выборочная средняя.
- •29. Генеральная и выборочная дисперсия. Исправленная дисперсия. Стандарт.
- •30. Интервальные статистические оценки параметров. Надёжность, доверительный интервал.
- •31.Построение дов интервала для оценки мат ожидания нормального распределения o
- •32.Статистическяа гипотеза.Нулевая конкурируюющая,простая,сложная гипотезы.Ошибки 1го,2го рода.
- •33.Критерйи солгасия.Согласие Пирсона.
- •34.Функциональная,статистическая,корреляционная зависимость.
- •35.Линейная регрессия.
- •36.Коррялиционный момент.
8.Вероятность произведения событий
Р/м 2 события:А и В.Пусть Р(А) и Р(В) извсетны.Как найти вероятность совмещения этих событий,т.е вероятность того,что появится и событие А и событие В
Т-ма.Вероятность совместного появления двух событий равна произведению
вероятности одного из них на условную вероятность другого,вычисленную в предположении,что первое событие уже наступило:
Р(АВ)=Р(А)Р(В)
Док-во.
По определению условной вероятности Р(В)=Р(АВ)/Р(А)
отсюда Р(АВ)=Р(А)Р(В)(*)
Применив формулу Р(В)=Р(АВ)/Р(А) к событию ВА,получим Р(ВА)=Р(В)Р(А)
поскольку событие ВА не отличается от события АВ
Р(АВ)=Р(В)Р(А)(**)
Справедливость равенства выходит Р(А)Р(В)=Р(В)Р(А)
9.Сумма вероятностей совместных событий
Два события совместны,если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании.Пример:А-повяление 4 очков при бросании игральной кости,В-появление четного числа очков.События А и В-совместные.
Т-ма.Вероятность появления хотя бы 1го из 2 совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)
10.Формулы полной вероятности и Бейеса.
Если событие А может произойти только при выполнении одного из несовместных событий B1, B2,..., Bn, которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события А вычисляется по формуле:
P(A)=P(B1)P(A/B1)+P(B2)(A/B2)+…+P(Bn)P(A/Bn).
Эта формула называется формулой полной вероятности.
Вновь рассмотрим полную группу несовместных событий B1, B2,..., Bn, вероятности появления которых P(B1), P( B2),..., P(Bn). Событие А может произойти только вместе с каким-либо из событий B1, B2,..., Bn, которые будем называть гипотезами. Тогда по формуле полной вероятности: (A)=P(B1)P(A/B1)+P(B2)(A/B2)+…+P(Bn)P(A/Bn).
Если событие А произошло, то это может изменить вероятности гипотез P(B1), P( B2),..., P(Bn).
По теореме умножения вероятностей P(AB1)=P(B1)P(A/B1)=P(A)P(B/A), откуда P(B1/A)=(P(B1)P(A/B1)) / P(A).
Аналогично, для остальных гипотез: P(Bi/A)=(P(Bi)P(A/Bi)) / P(A), i=1,…,n.
Полученная формула называется формулой Байеса (формулой Бейеса). Вероятности гипотез P(Bi/A) называются апостериорными вероятностями, тогда как P(Bi) - априорными вероятностями.
11.Повторение испытаний,формула Бернулли.
Вероятность одного сложного события,состоящего в том,что в n испытаниях событие А наступит k раз и не наступит k-n раз,по теореме умножения вероятностей независимых событий равна p в степени k*q в степени n-k.Событий может быть столько,сколько возможно составить сочетаний из n элементов по k элементам.С k/n.Т.к эти сложные события несовместны,то по т. сложения вероятностей нес. событий искомая вероятность=сумме вероятностей всех возможных сложных событий.Т.к вероятности всех сложных событий одинаковы,то искомая вероятность=вероятности одного сложного событий,умноженной на число:
Pn(k)=C n/k * p^k * q^n-k
Pn(k)= n!/k!(n-k)!*p^k*q^n-k
12. Предельные формулы Пуассона и Муавра-Лапласа.
Формула Бернуллиудобна для вычислений лишь при сравнительно небольшом числе испытаний. При больших значенияхпользоваться этой формулой неудобно. Чаще всего в этих случаях используют формулу Пуассона. Эта формула определяется теоремой Пуассона.
Теорема.Если вероятностьнаступления событияв каждом испытании постоянна и мала, а число независимых испытанийдостаточно велико, то вероятность наступления событияровнораз приближенно равна
формулу Пуассона:
Эта формула дает удовлетворительное приближение для p?0,1 и np?10. При больших np рекомендуется применять формулы Лапласа (Муавра-Лапласа). Cобытия, для которых применима формула Пуассона, называют редкими, так как вероятность их осуществления очень мала (обычно порядка 0,001-0,0001).
Локальная теорема Лапласа.
Если n – велико, а р – отлично от 0 и 1, то
где- функция Гаусса (функция табулирована, таблицу можно скачать на страницеформул по теории вероятностей).
Интегральная теорема Лапласа.
Если n – велико, а р – отлично от 0 и 1, то
P(n; k1, k2)где- функция Лапласа (функция табулирована, таблицу можно скачать на страницеформул по теории вероятностей).
Функции Гаусса и Лапласа обладают свойствами, которые необходимо знать при использовании таблиц значений этих функций:
а)
б) при больших верно.
Теоремы Лапласа дают удовлетворительное приближение при . Причем чем ближе значенияк 0,5, тем точнее данные формулы. При маленьких или больших значениях вероятности (близких к 0 или 1) формула дает большую погрешность (по сравнению с исходной формулой Бернулли).