- •Министерство образования и науки
- •Правила выполнения контрольной работы
- •Варианты контрольных работ
- •Образцы решения типовых заданий.
- •Контрольная работа №2.
- •Контрольные работы для студентов со средним профессиональным образованием (спо).
- •Перечень контрольных вопросов к экзамену по курсу «Математический анализ»
- •Список литературы:
Варианты контрольных работ
Чтобы определить номер своего варианта, студент должен воспользоваться приведённой ниже таблицей. Например, если номер студента в учебном журнале - первый, то он выполняет задание для варианта № 1, если двенадцатый- то вариант № 2, если тринадцатый -то вариант № 3 и т. д. Затем, определив номер своего варианта, необходимо из каждого задания контрольной работы выбрать задачу с соответствующим номером.
Вариант, присвоенный студенту учебным отделом |
Вариант контрольной работы |
1, 11, 21 |
1 |
2, 12, 22 |
2 |
3, 13, 33 |
3 |
4, 14, 24 |
4 |
5,15, 25 |
5 |
6, 16, 26 |
6 |
7,17, 27 |
7 |
8, 18, 28 |
8 |
9, 19,29 |
9 |
10, 20, 30 |
10 |
Образцы решения типовых заданий.
ПРИМЕР 1. Найдите предел
Решение.
Разделим числитель и знаменатель выражения на 7n. После преобразований получим:
.
(Так как при выражениестремится к нулю по свойству показательной функции с основанием 0<a<1).
ПРИМЕР 2. Найдите предел
Решение.
Имеем неопределённость вида . Чтобы устранить её, разделим числитель и знаменатель на:
.
ПРИМЕР 3. Найдите предел .
Решение.
Имеем неопределённость вида . Чтобы раскрыть её, умножим и разделим выражение в скобках на сопряженное ему выражение. Получим:
.
ПРИМЕР 4. Найти предел
Решение.
Имеем неопределенность вида “0/0”. Подвергнем функцию преобразованию, чтобы получить возможность использовать первый замечательный предел;
.
ПРИМЕР 5. Найти предел.
х
Решение.
Имеем неопределённость вида . Чтобы воспользоваться вторым замечательным пределом, преобразуем данную функцию:
.
ПРИМЕР 6. Продифференцировать функцию: .
Решение.
Находим производную данной функции по правилам дифференцирования сложной функции:
.
ПРИМЕР 7. Найти производную функции, заданной неявно: .
Решение.
Дифференцируем данную функцию по х:
, откуда
ПРИМЕР 8. Найти производную от функции, заданной параметрически:.
Решение.
.
ПРИМЕР 9. Найти область определения функции
Решение.
Данная функция определена для всех х, не обращающих в нуль знаменатель, т.е. не являющихся корнями уравнения. Это все числа вида.
Таким образом, область определения D(у) - вся числовая прямая, кроме точек.
ПРИМЕР 10. Исследовать функцию и построить ее график:
Решение.
Функция определена и непрерывна в интервале (0;+). В граничной точкеобласти определения функция имеет бесконечный разрыв, так как.
Так как в точке функция имеет бесконечный разрыв, то прямаяявляется вертикальной асимптотой. Найдем уравнение наклонной асимптоты(если она существует).
;
.
(При нахождении пределов воспользовались правилом Лопиталя).
Итак, и уравнение асимптоты. Таким образом, график имеет в качестве асимптот оси координат.
Найдем производную функции и критические точки:
. Стационарная критическая точка:. Исследуем знак производной на интервалах(0;е) и (е;).
х
0 е
+ -
Составим таблицу:
x (0;e) e (e;+) y` + 0 - y возрастает max убывает
Экстремум функции: .
Найдем вторую производную и значения х, при которых график может иметь точку перегиба:
,при.
Определим знак второй производной в
интервалах
и:
+ -
-
х
0 +
x (0;) 4,48 (;) y`` - 0 + график выпуклый точка
перегиба вогнутый
Составим таблицу:
y()=3/()0.33
График пересекает ось абсцисс в точке (1;0). Точек пересечения с осью ординат нет. Строим эскиз графика функции:
у
х
1 е е
ПРИМЕР 11. Построить график функции, заданной уравнением в полярных координатах
Решение.
Построим график данной функции в декартовых координатах для :
r
/2
3/2 2
φ
0
Из этого графика видно, что приимеем.
Поэтому требуемый график будет находиться в секторах, соответствующих данным значениям , а также в секторах, симметричных им относительно начала координат (в силу того, что передстоит чётный коэффициент).
Учитывая характер изменения rв этих промежутках (от 0 до 1 и затем снова до 0) получим следующий график (восьмилепестковую розу):
ПРИМЕР 12. Исследовать сходимость ряда
Проверим, выполняется ли необходимое условие сходимости знакоположительного ряда. Найдём предел общего члена ряда
.
Так как данный предел не равен нулю, то не выполняется необходимое условие сходимости ряда, следовательно, он расходится.
ПРИМЕР 13. Разложить функцию в ряд по степеням х.
Решение.
Разложим функцию в ряд Маклорена. Учитывая, что , разложим функцию на сумму двух более простых:
.
Далее преобразуем:
.
Воспользуемся разложением:
.
*
то есть.
Аналогично получим второе разложение:
.
Тогда:
.
Окончательно получаем:
ПРИМЕР 14. Найти неопределённый интеграл .
Решение.
Введем подстановку , откуда. Тогда. Находим полученный табличный интеграл и возвращаемся к прежней переменной:
.
ПРИМЕР 15. Найти неопределённый интеграл .
Решение.
Подведем под знак дифференциала знаменатель подынтегральной дроби:
.
ПРИМЕР 16. Найти неопределённый интеграл .
Решение.
Применим формулу интегрирования по частям: . В данном случае:
. Подставляя эти выражения в формулу, получим:
.
ПРИМЕР 17. Вычислить интеграл или установить его расходимость.
Решение.
Точка является особой точкой, поскольку подынтегральная функция имеет в ней бесконечный разрыв. Поэтому:
- получили бесконечный предел.
Таким образом, данный интеграл расходится.
ПРИМЕР 18. Решить уравнение: .
Решение.
Данное уравнение является дифференциальным уравнением первой степени с Разделяющимися переменными. Разделим переменные:
.
Проинтегрируем части последнего равенства:
.
Отсюда:
.
Окончательно имеем:
- общее решение данного уравнения.
ПРИМЕР 19. Решить уравнение: .
Решение.
Данное дифференциальное уравнение относится к типу однородных дифференциальных уравнений
,
которые решаются с помощью подстановки
.
Отсюда:
.
После подстановки в исходное уравнение получим:
.
Это – уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:
Интегрируя обе части, получим:
Используя обратную подстановку, получим:
Окончательно имеем обще решение в виде:
.
Теперь, чтобы найти частное решение, подставляем в общее решение начальное условие:
.
Искомое частное решение:
.
Контрольные работы для студентов со средним полным образованием.
Контрольная работа № 1.
Задание 1. Найти следующие пределы:
1a); б) ;
в) ; г) ;
2.a) ; б);
в) г);
3. а); б) ;
в) ; г) ;
4.a) ; б) ;
в) ; г) ;
5.a) ; б) ;
в) ; в) ;
6.a) ; б) ;
в) ; г) ;
7.a) ; б) ;
в) ; г) ;
8.a) ; б) ;
в) ; г)
9.a) ; б) ;
в) ; г) ;
10a) ; б) ;
в); г)
Задание 2.Найдите производные функций:
1. а)y=extgx+; б)x=ln(xy) ; в)
a) y = ln(excosx + exsinx) ; б) x4+y4 = x2y2 ; в)
a) y = arcsin(sinx – cosx) ; б) x = ex+y ; в)
a) y = ln; б) cos(xy)=x ; в)
a) y = x2log3x+3x ; б) x3+y3-3xy=0 ; в)
a) y = sin3x ; б) ; в)
а) y= ; б)yx=xy; в)
а) y= ; б)x3+y3-6xy=0 ; в)
а) y= ; б)y=2x+arctgy; в)
а) y=arctg ; б)x3+x2y+y2=0 ; в)
Задание 3. Найти область определения функций
1. y = ; 2. y = ; 3. y = ; 4. y =
5. y =; 6. y =; 7. y =; 8. y =
9. y = ; 10. y =
Задание 4.Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график:
1. y = ln sin x; 2. y=log2-x, 3. y=; 4. y=cos3x, 5. y= ln(x2-1)
6. y=3, 7. y= x3+; 8. y=2 ; 9. y=(x-1)e3x+1 ; 10. y=ln x
Задание 5.Построить график функции, заданной уравнениями в полярных координатах.
1. r=sin4; 2. r=; 3. r=cos2; 4. r=ln ; 5. r=sin +1,
6. r=sin2; 7. r=2+sin; 8. r=cos ; 9. r=cos2-sin2; 10. r=sin3