Vektory

1. Векторы.

Вектор характеризуется двумя категориями:

1. Длиной вектора называется число равное длине отрезка, изображающего вектор, т.е.

p

AB = (xB xA)2 + (yB yA)2:

2. Направлением вектора.

Любую точку пространства можно рассматривать как вектор, такой вектор называется нулевым.

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Если коллинеарные векторы имеют одинаковое направление, они называются сонаправлеными, если противоположное, то противонаправлеными.

Противоположно направленные векторы одной длины называются

противоположными.

Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

Между векторами определяются операции:

1

Складывать вектора можно с помощью двух правил:

Правило треугольника.

3. Произведением ненулевого вектора ~a на число называется вектор ~c = ~a, такой что:

1)j ~aj = j j j~aj:

2)векторы ~a и ~a имеют одно направление, если > 0, и противоположное, если < 0.

2

Обобщим понятие вектора на n-мерный случай.

Любой упорядоченный набор из n действительных чисел a1; a2; : : : ; an называется n-мерным вектором ~a, при этом числа, составляющие упорядоченный набор, называются координатами вектора ~a.

Совокупность всех n-мерных векторов называется n-мерным векторным пространством Rn.

Координаты n-мерного вектора можно записывать либо в строку, ли-

Два вектора с одним и тем же числом координат ~a = (a1; a2; : : : ; an)

è ~

b = (b1; b2; : : : ; bn) называются равными, если их соответствующие координаты равны:

a1 = b1; a2; = b2; : : : ; an = bn:

Вектор, все координаты которого равны нулю называется нулевым:

~

0 = (0; 0; : : : ; 0):

Операции над векторами: Пусть даны векторы ~a = (a1; a2; : : : ; an)

~

1. Суммой векторов ~a и b будем называть вектор ~c, координаты ко-

~

торого равны суммам соответствующих координат векторов ~a и b:

~

~c = ~a + b = (a1 + b1; a2 + b2; : : : ; an + bn):

3

2. Произведением вектора ~a на любое действительное число

будем называть вектор ~c, координаты которого получаются умножением соответствующих координат вектора ~a на число :

~c = ~a = ( a1; a2; : : : ; an):

~

3. Скалярным произведением двух векторов ~a и b число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т.е.

Откуда следует, что угол между векторами определяется по формуле:

~ cos = ~a b ;

j j j~j

~a b

где угол между векторами.

Свойства операции:

~

Проекция вектора ~a на вектор b это скалярная величина:

pr~~a = j~aj cos :

b

~ ~ ~

С учетом этого, ~a b = jbj pr~~a = j~aj pr~ab:

b

Скалярное произведение и проекция можут принимать:

4

~

1. положительное значение: ~a b > 0, острый угол.

Свойства проекций:

10: Проекция суммы векторов равна сумме проекций:

pr~u(~a1 + : : : + ~an) = pr~u~a1 + : : : + pr~u~an:

20: При растяжении вектора ~a в раз его проекция растягивается тоже в раз:

pr~u ~a = pr~u~a

30: Проекция вектора на ось равна произведению длины вектора на косинус угла между вектором и осью:

prx~a = j~aj cos :

Единичные векторы ~ ~ ~

i; j; k называют ортами, если их направления совпадают с положительными направлениями осей X; Y; Z и

j~j j~j j~j

i = j = k = 1:

5

X

~

Пусть два вектора ~a и b заданы своими разложениями по ортам в декартовой системе координат:

т.е. скалярное произведение векторов, заданных проекциями в декартовой системе координат, равно сумме произведений одноименных координат. Данная формула справедлива только в ортонормированнном басизе.

6

Косинус угла между векторами определяется выражением:

Следовательно,

Векторное пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее указанным свойствам, называется евклидовым пространством.

Длина вектора в евклидовом пространстве определяется формулой:

pq

j~aj = ~a ~a = a21 + a22 + : : : + a2n:

Векторное произведение векторов.

Векторное произведение векторов это нелинейная операция над векторами, которая существует только в трехмерном векторном про-

странстве, на плоскости она не определена.

~

Упорядоченная тройка векторов ~a; b; ~c называется правой, если на-

блюдателю, находящемуся на конце вектора ~c, кратчайший поворот от

~

вектора ~a к вектору b происходит против часовой стрелки. В противном случае тройка векторов называется левой.

7

Левая тройкаPPq b

Три ненулевых вектора называются компланарными, если они параллельны одной и той же плоскости. Тройки компланарных векторов

не относятся ни к правым, ни к левым.

~

Векторное произведение вектора ~a на вектор b это вектор

~ ~

~c = ~a b = [~a; b], определяемый следующим образом:

1) длина его равна площади параллелограмма, построенного на векто-

~

ðàõ ~a è b, ò.å.

j j j j j~j

~c = ~a b sin ';

~

где ' угол между векторами ~a и b.

~

2) вектор ~c перпендикулярен векторам ~a и b.

~

3) векторы ~a; b; ~c после приведения к общему началу координат образуют правую тройку векторов.

Свойства векторного произведения:

8

~

~a è b.

~

Пусть два вектора ~a и b заданы своими разложениями по ортам в декартовой системе координат:

èëè

9

Таким образом, вектор получаемый в результате векторного произведения векторов, заданных своими координатами, получается из определителя, первой строкой которого являются координатные орты, вторая и третья строки состоят, соответственно, из координат первого и второго векторов.

Смешанное произведение векторов.

~

Смешанное произведение трех векторов ~a; b; ~c это число

~ ~ ([~a; b];~c) = ~a b ~c:

~

Модуль смешанного произведения трех векторов ~a; b; ~c численно равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Знак смешанного произведения совпадает со знаком cos , поэтому

смешанное произведение положительно, когда тройка векторов правая, и отрицательно, если тройка векторов левая.

Если перемножаемые векторы лежат в одной плоскости (cos ' = 0),

~

то ([~a; b];~c) = 0 это необходимое и достаточное условие компланарности векторов.

10