Vektory

~

~

~ ~

~

~

~

~

~

~

~a = x~a i + y~a j + z~a k; b = x~b

i + y~b

j + z~b

k; ~c = x~c i + y~c j + z~c k:

~

~

(x~az~b

~

~

~a b = (y~az~b

z~ay~b) i

z~ax~b) j + (x~ay~b

y~ax~b) k:

~

~

~

~

~a b ~c = ((y~az~b

z~ay~b) i

(x~az~b z~ax~b) j + (x~ay~b y~ax~b) k)

(x~c

~

~

~

i + y~c

j + z~c k) =

= (y~az~b z~ay~b) x~c

~ ~

~ ~

(i; i) (x~az~b z~ax~b) x~c (j; i)+

+(x~ay~b y~ax~b) x~c

~

~

~ ~

(k; i) + (y~az~b

z~ay~b) y~c (i; j)

~ ~

~ ~

(x~az~b z~ax~b) y~c (j; j) + (x~ay~b

y~ax~b) y~c (k; j)+

+(y~az~b z~ay~b) z~c

~

~

~ ~

(i; k) (x~az~b z~ax~b) z~c (j; k)+

+(x~ay~b y~ax~b) z~c

~ ~

8

(k; k) =

9

(~i;~j) = (~j;~i) =

~i

~j

cosj j 90j 0j = 0

= >

~ ~

~ ~

~ ~

~

~

0

= 1

> =

(i; i) = (j; j) = (k; k) = i

i

cos 0

~

~

~

~

j~j j~j

cos 90

0

= 0

>

(i; k) = (k; i) = i

k

>

>

>

<

j

j j j

=

>

(~j;~k) = (~k;~j) = j~jj j~kj cos 900 = 0

>

>

>

= (y~az~

z~ay~>) x~c

(x~az~

z~ax~) y~c + (x~ay~

y~ax~) z~c:

>

b

b:

b

b

b

b

;

~

z~ay~b) x~c (x~az~b z~ax~b) y~c + (x~ay~b y~ax~b) z~c;

~a b ~c = (y~az~b

~

x~a

y~a

z~a

x~c

y~c

z~c

~a

b

~c =

x~

y~

z~

b

b

b

1

0

~

~

~

: (~a b) ~c = (b ~c) ~a = (~c ~a) b:

20

: При перестановке двух сомножителей смешанное произведение ме-

íÿåò çíàê.

30

: Смешанное произведение обращается в нуль, если: а) хотя бы один

из перемножаемых векторов нулевой; б) два из трех векторов кол-

линеарны; в) три вектора компланарны.

M30

M40

M

0

M0

(x0

; y0

; z0

)

2

1

1

1

1

M

; y3; z3)

4

M3(x3

M1(x1; y1; z1)

M2(x2; y2; z2)

призмы

1

ïàð.

1

M M

; M M ; M!M :

V

=

2V

=

2

(!1 2

!1 3 1 10)

Vпирамиды

=

1

ïàð.

1

M M ; M M

; M!M :

6V

=

6

(!1 2

!1 3

1 10)

h = V

îñí.

=

!1 2

!

!1 3 1

1

ïàð.

(M M

; M M ; M

M0)

S

M1M3; M1M2

h

! !

i

~

~

~

[~a; [b;~c]] = b (~a;~c) ~c (~a; b):

Доказательство:

~a = fx1; y1; z1g;

~

; y3; z3g:

b = fx2; y2; z2g; ~c = fx3

~b ~c =

~

~

~

= (y2z3 z2y3) ~i (x2z3 z2x3) ~j+(x2y3 y2x3) ~k:

xi2

yj2

z2

k

x3

y3

z3

[~a; [~b;~c]] =

~

~

~

=

x1

y1

z1

i

j

k

y

z

3

z

y

3

x

z

2

z

x

2

x

y

3

y

x

3

2

2

3

3

2

2

y1x3y2

z1x3z2

+ z1x2z3)

~

= (y1x2y3

i

(~a;~c) = x1x3 + y1y3 + z1z3;

~

~

b (~a;~c) = (x2x1x3 + x2y1y3 + x2z1z3) i+

~

+(y2x1x3 + y2y1y3 + y2z1z3)

j+

~

+(z2x1x3 + z2y1y3 + z2z1z3) k:

~

(~a; b) = x1x2 + y1y2 + z1z2;

~

~

~c (~a; b) = (x3x1x2 + x3y1y2 + x3z1z2) i+

~

+(y3x1x2 + y3y1y2 + y3z1z2)

j+

~

+(z3x1x2 + z3y1y2 + z3z1z2) k:

~

~

b (~a;~c) ~c

(~a; b) =

~

~

~

[[~a; b];~c] = b (~a;~c)

~c (~a; b):

Доказательство:

~

0

~

[[~a; b];~c] = fСвойство 1

g = [~c; [~a; b]] =

= ~c (~a;~b) ~b (~a;~c) = ~b (~a;~c) ~c (~a;~b):

Тождество доказано.

~

~

~

~

~ ~

Åñëè ~c = ~a + b, òî [[~a; b]; ~a + b] = [[~a; b];~a] + [[~a; b]; b]:

Тождество Якоби:

~

~

~

[~a; [b;~c]] + [b; [~c;~a]] + [~c; [~a; b]] = 0:

Доказательство:

~

~

~

[~a; [b;~c]] + [b; [~c;~a]] + [~c; [~a; b]] =

~

~

~

= b (~a;~c) ~c (~a; b) + ~c

(b;~a)

~a

~

~ ~

(~c;~a) = 0:

(b;~c) + ~a

(~c; b) b

èëè

a21

a22 : : :

a2n

A

E

a11 a12

: : :

a1n

j

j

=

.

.

...

.

= 0:

an1

an2

: : : ann

A = B

1

0

0

C

0

0

:

0

02

3

B

C

@

A

1)

1

2

;

1

4

B

3

1

0

0

C

2)

1

1

0

0

:

4

1

3

1

B

5

3

C

@

3

0

A

~

2

~

1. Векторы ~a и b образуют угол

3

. Зная, что j~aj = 3, jbj = 4. Вычислите:

1)~a

~

2

b;

5)~a ;

~2

;

~

2

2) b

6) (~a + b) ;

~

~

~

2

:

3) (3~a 2b)(~a + 2b);

7) (~a b)

2.

Векторы ~a = f4; 2; 4g

è ~

3; 2g. Вычислите:

b = f6;

~

p

4)

2

;

1)~a b;

~a

3) p

~ 2

2)

~2

;

b

5) (~a + b) ;

(2~a

~

~

6) (~a

~ 2

:

3b)(~a + 2b);

b)

3.

Äàíû

единичные

векторы ~a;

~

~c, удовлетворяющие

условию

b;

~

~. Вычислите

~

~

~c + ~c ~a

.

~a + b + ~c = 0

~a b + b

4.

Даны векторы

~a;

~

, удовлетворяющие условию

~

~

. Çíàÿ,

b; ~c

~a + b + ~c = 0

~

~

~

что j~aj = 3, jbj = 1, j~cj = 4. Вычислите ~a b + b ~c + ~c ~a.

5. Известно, что j~aj

~

= 3, jbj = 5. Определите, при каком значении k

~

k

~

векторы ~a + k b и ~a

b будут взаимно перпендикулярны.

7.

Вычислите проекцию вектора ~a = f5; 2; 5g

на ось вектора ~

1; 2g.

b = f2;

8.

Найдите проекцию вектора

~

3; 2g на ось, составляющую с

d = f4;

координатными осями равные острые углы.

9.

Даны векторы ~a = f1; 3; 4g

, ~

4; 2g è ~c = f 1; 1; 4g.

b = f3;

Вычислите pr~

~a.

b+~c

Номер

~a

~

~c

b

à)

~

~

~

k

i

j

á)

~

~

~

i

k

j

â)

~

~

~

j

i

k

ã)

~

~

~

~

i + j

j

k

ä)

~

~

~

~

~

i + j

i

j

j

å)

~

~

~

~

~

i + j

i

j

k

~

~

2. Векторы ~a и b образуют угол '

=

6

. Çíàÿ, ÷òî j~aj

= 6, jbj = 5.

Вычислите [~a;~b] .

3.

Äàíû ~a

= 10, ~b

j

=

2 è ~a

~b = 12. Вычислите [~a;~b] .

j j

j

4.

Векторы ~a и ~b взаимно перпендикулярны. Зная,

÷òî

~a

j

= 3,

~b

j

= 4.

[(~a +~b); (~a ~b)]

j

j

Вычислите:

è [(3~a ~b); (~a 2~b)] .

5.

Векторы

~a

è ~ образуют угол

2

. Çíàÿ, ÷òî

= 1

,

~

= 2

.

3

b

' =

j~aj

jbj

Вычислите: [~a;~b]2,

[(2~a +~b); (~a + 2~b)] 2

è [(~a + 3~b); (3~a ~b)] 2.

è

6.

Даны векторы ~a =

f

3;

1; 2

~b =

f

1; 2;

1

. Найдите координаты

g