3.1.1 Обменное взаимодействие

Обменное взаимодействие, специфическое взаимное влияние одинаковых, тождественных, частиц, эффективно проявляющееся как результат некоторого особого взаимодействия. О. в. — чисто квантовомеханический эффект, не имеющий аналога в классической физике. Вследствие квантовомеханического принципа неразличимости одинаковых частиц (тождественности принципа)волновая функциясистемы должна обладать определенной симметрией относительно перестановки двух одинаковых частиц, т. е. их координат испинов: для частиц с целым спином—бозонов— волновая функция системы не меняется при такой перестановке (является симметричной), а для частиц с полуцелым спином —фермионов— меняет знак (является антисимметричной). Если силы взаимодействия между частицами не зависят от их спинов, волновую функцию системы можно представить в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от координат частиц, а другая — только от их спинов. Наличие симметрии означает, что имеет место определённая согласованность, корреляция, движения одинаковых частиц, которая сказывается на энергии системы (даже в отсутствие каких-либо силовых взаимодействий между частицами). Поскольку обычно влияние частиц друг на друга является результатом действия между ними каких-либо сил, о взаимном влиянии одинаковых частиц, вытекающем из принципа тождественности, говорят как о проявлении специфического взаимодействия — О. в. Возникновение О. в. можно проиллюстрировать на примере атома гелия (впервые это было сделано В.Гейзенбергомв 1926). Спиновые взаимодействия в лёгких атомах малы, поэтому волновая функциядвух электронов в атоме гелия может быть представлена в виде:

 = Ф (r₁, r₂)(s₁, s₂), (1) где Ф (r₁, r₂)—функция от координатr₁, r₂электронов, а(s₁, s₂) — от проекции их спиновs₁, s₂ на некоторое направление. Т. к. электроны являются фермионами, полная волновая функциядолжна быть антисимметричной. Если суммарный спин 5 обоих электронов равен нулю (спины антипараллельны — парагелий), то спиновая функция c антисимметрична относительно перестановки спиновых переменных и, следовательно, координатная функция Ф должна быть симметрична относительно перестановки координат электронов. Если же полный спин системы равен 1 (спины параллельны — ортогелий), то спиновая функция симметрична, а координатная — антисимметрична. Обозначая через_п(r₁),_п'(r₂) волновые функции отдельных электронов в атоме гелия (индексыn,n'означают набор квантовых чисел, определяющих состояние электрона в атоме), можно, пренебрегая сначала взаимодействием между электронами, записать координатную часть волновой функции в виде:

для случая S = 1, (2)

для случая S = 0 (2')

(множитель введён для нормировки волновой функции). В состоянии с антисимметричной координатной функцией Ф_аср. расстояние между электронами оказывается большим, чем в состоянии с симметричной функцией Ф_S; это видно из того, что вероятность²=Ф_а² _S²нахождения электронов в одной и той же точке r₁=r₂для состоянияФ_аравна нулю. Поэтому средняя энергия кулоновского взаимодействия (отталкивания) двух электронов оказывается в состоянии Ф_а меньшей, чем в состоянии Ф_S. Поправка к энергии системы, связанная с взаимодействием электронов, определяется по теории возмущении и равна:

  Е_В3= К ± А, (3) где знаки ± относятся соответственно к симметричному Ф_Sи антисимметричному Ф_акоординатным состояниям,

(4)

(dt = dxdydz— элемент объёма). ВеличинаКимеет вполне наглядный классический смысл и соответствует электростатическому взаимодействию двух заряженных «облаков» с плотностями зарядае_n (r₁)²и е_n(r₂)². ВеличинуА, называется обменным интегралом, можно интерпретировать как электростатическое взаимодействие заряженных «облаков» с плотностями зарядае_n*(r₁)_n(r₁) ие_n*(r₁)_n(r₂)_n (r₂), т. е. когда каждый из электронов находится одновременно в состояниях_nи_n(что бессмысленно с точки зрения классической физики). Из (3) следует, что полная энергия пара- и ортогелия с электронами в аналогичных состояниях отличается на величину 2А. Т. о., хотя непосредственно спиновое взаимодействие мало и не учитывается, тождественность двух электронов в атоме гелия приводит к тому, что энергия системы оказывается зависящей от полного спина системы, как если бы между частицами существовало дополнительное, обменное, взаимодействие. Очевидно, что О. в. в данном случае является частью кулоновского взаимодействия электронов и явным образом выступает при приближённом рассмотрении квантовомеханической системы, когда волновая функция всей системы выражается через волновые функции отдельных частиц (в частности, в приближении Хартри — Фока).

О. в. эффективно проявляется, когда «перекрываются» волновые функции отдельных частиц системы, т. е. когда существуют области пространства, в которых с заметной вероятностью может находиться частица в различных состояниях движения. Это видно из выражения для обменного интеграла А: если степень перекрытия состояний_n*(r) и_n(r) незначительна, то величинаАочень мала.

Если взаимодействующие тождественные частицы находятся во внешнем поле, например в кулоновском поле ядра, то существование определённой симметрии волновой функции и соответственно определённой корреляции движения частиц влияет на их энергию в этом поле, что также является семенным эффектом. Обычно (в атоме, молекуле, кристалле) это О. в. вносит вклад обратного знака по сравнению с вкладом О. в. частиц друг с другом. Поэтому суммарный обменный эффект может как понижать, так и повышать полную энергию взаимодействия в системе. Энергетическая выгодность или невыгодность состояния с параллельными спинами фермионов, в частности электронов, зависит от относительных величин этих вкладов. Так, в ферромагнетике (аналогично рассмотренному атому гелия) более низкой энергией обладает состояние, в котором спины электронов в незаполненных оболочках соседних атомов параллельны; в этом случае благодаря О. в. возникает спонтанная намагниченность. Напротив, в молекулах с ковалентной химической связью, например в молекуле Н₂, энергетически выгодно состояние, в котором спины валентных электронов соединяющихся атомов антипараллельны.

О. в. объясняет, т. о., закономерности атомной и молекулярной спектроскопии, химическую связь в молекулах, ферромагнетизм (и антиферромагнетизм), а также др. специфические явления в системах одинаковых частиц.