68.Закон радиоактивного распада.

Способность ядер самопроизвольно распадаться, испуская частицы, называется радиоактивностью. Радиоактивный распад  - статистический процесс. Каждое радиоактивное ядро может распасться в любой момент и закономерность наблюдается только в среднем, в случае распада достаточно большого количества ядер.  Постоянная распада λ - вероятность распада ядра в единицу времени.      Если в образце в момент времени t имеется N радиоактивных ядер, то количество ядер dN, распавшихся за время dt пропорционально N.

dN = -λNdt.

(1)

Проинтегрировав (1) получим закон радиоактивного распада

N(t) = N0e-λt.

(2)

N₀ - количество радиоактивных ядер в момент времени t = 0. Cреднее время жизни τ -

.

(3)

Период полураспада T_1/2 - время, за которое первоначальное количество радиоактивных ядер уменьшится в два раза

T1/2 = ln2/λ=0.693/λ = τln2.

(4)

Активность A - среднее количество ядер распадающихся в единицу времени

A(t) = λN(t).

(5)

Активность измеряется в кюри (Ки) и беккерелях (Бк)

1 Ки = 3.7·10¹⁰ распадов/c, 1 Бк = 1 распад/c.

Распад исходного ядра 1 в ядро 2, с последующим его распадом в ядро 3, описывается системой дифференциальных уравнений

dN1/dt = -λ1N1 dN2/dt = -λ2N2 +λ1N1,

(6)

где N₁(t) и N₂(t) -количество ядер, а λ₁ иλ₂ - постоянные распада ядер 1 и 2 соответственно. Решением системы (6) с начальными условиями N₁(0) = N₁₀; N₂(0) = 0 будет

,	(7a)
.	(7б)

Количество ядер 2 достигает максимального значения при.

Если λ₂ < λ₁ (>), суммарная активностьN₁(t)λ₁ + N₂(t)λ₂ будет монотонно уменьшаться.  Если λ₂ >λ₁ (<), суммарная активность вначале растет за счет накопления ядер 2.  Если λ₂ >>λ₁, при достаточно больших временах  вклад второй экспоненты в (7б) становится пренебрежимо мал, по сравнению со вкладом первой и  активности второго A₂ = λ₂N₂ и первого изотопов A₁ = λ₁N₁ практически сравняются. В дальнейшем активности как первого так и второго изотопов будут изменяться во времени одинаково.

A1(t) = N10λ1= N1(t)λ1 = A2(t) = N2(t)λ2.

(8)

  То есть устанавливается так называемое вековое равновесие, при котором число ядер изотопов в цепочке распадов связано с постоянными распада (периодами полураспада) простым соотношением.

(9)

Поэтому в естественном состоянии все изотопы, генетически связанные в радиоактивных рядах, обычно находятся в определенных количественных соотношениях, зависящих от их периодов полураспада.     В общем случае, когда имеется цепочка распадов 1→2→...n, процесс описывается системой дифференциальных уравнений

dNi/dt = -λiNi +λi-1Ni-1.

(10)

Решением системы (10) для активностей с начальными условиями N₁(0) = N₁₀; N_i(0) = 0 будет

(11)

где

(12)

Штрих означает, что в произведении, которое находится в знаменателе, опускается множитель с i = m.

69. Свойства ядерных сил. Дефект массы, энергия связи и устойчивость атомных ядер.

А).Между нуклонами в ядре действуют силы притяжения – ядерные силы. Ядерные силы относятся, наряду с гравитационными и электромагнитными, к числу так называемых фундаментальных сил природы. В квантовой механике вместо понятия “сила” чаще используется понятие “взаимодействие”. Синонимом выражения “ядерные силы” является выражение “сильное взаимодействие”. Этим выражением подчеркивается тот факт, что ядерные силы гораздо более “сильные”, чем электромагнитные и тем более гравитационные. Ведь ядерные силы удерживают в ядре одноименно заряженные протоны, которые по закону Кулона отталкиваются, и незаряженные нейтроны. Не будь ядерных сил, ядра разлетелись бы на отдельные нуклоны. Таким образом, ядерные силы самые “сильные” в природе.

Ядерные силы обладают рядом специфических свойств:

1. В отличие от электромагнитных и гравитационных сил, радиус действия которых равен бесконечности, ядерные силы являются короткодействующими, так как они очень быстро убывают с расстоянием. На расстояниях, превышающих примерно r₀»10^-15 м, ядерные силы становятся практически равными нулю. Величина r₀ называется радиусом действия ядерных сил.

2. Ядерные силы обладают свойством насыщения, заключающимся в том, что каждый нуклон в ядре взаимодействует лишь с определенным числом ближайших соседей.

3. Величина сильного взаимодействия зависит от взаимной ориентации спинов нуклонов.

4. Ядерные силы обладают свойством зарядовой независимости, выражающимся в том, что величина ядерных сил не зависит от электрического заряда взаимодействующих нуклонов.

Свойства насыщения и короткого действия ядерных сил объясняются их природой. Эти силы относятся к числу так называемых обменных сил, т.е. возникают между двумя частицами благодаря обмену третьей частицей. Такой частицей, выполняющей роль “переносчика” сильного взаимодействия, является p - мезон. Существует три типа p - мезонов: p⁺, p ^-, p ⁰ – мезоны. Нуклон в ядре испускает p -мезон, который затем поглощается соседним нуклоном. В свою очередь, этот второй нуклон испускает p -мезон, который поглощается первым нуклоном. Обмен мезонами и приводит к взаимодействию между нуклонами.

Обмен p - мезонами можно выразить следующими реакциями:

Таким образом, в ходе обмена p - мезонами протоны непрерывно превращаются в нейтроны, а нейтроны – в протоны. Поэтому в составе ядра вообще нет принципиальной разницы между протонами и нейтронами. Их можно рассматривать как два состояния одной частицы – нуклона.

Б). Масса (m) и энергия (Е) - две формы существования материи, пропорционально взаимосвязанные между собой соотношением А.Эйнштейна Е = mc²,     (1.5) где с - скорость света в вакууме (с = 2.997924 ^.10⁸ м/с) Следовательно, 1 кг массы вещества обладает полной энергией Е » 1 ^.(3 ^.10⁸)² = 9 ^.10¹⁶ Дж = 2.5 ^.10¹⁰ кВт ^.час *) т.к. 1 кВт ^.час ≈ 3.6 ^.10⁶ Дж Так как 1 а.е.м. соответствует в единицах СИ массе 1.66056 ^.10^-27 кг, то в единицах системы СИ полная энергия 1 а.е.м. вещества равна: Е ≈ 1.66056 ^.10^-27(3 ^.10⁸)² = 1.4924 ^.10¹⁰ Дж. В ядерной физике энергии микрочастиц принято измерять в электрон­Вольтах (эВ). 1 эВ - это энергия, приобретаемая электроном при прохож­дении ускоряющей разности потенциалов в 1 В. Соотношение между упомянутыми единицами энергии: 1 эВ = 1.6022 ^.10^-19 Дж  или  1 Дж = 6.2414 ^.10¹⁸ эВ. Следовательно, энергетический эквивалент 1 а.е.м. вещества Е_1аем = 9.315 ^.10⁸ эВ = 931.5 МэВ.  Сумма масс отдельных свободных нуклонов, составляющих яд­ро, несколько больше массы покоя ядра, т.к. нуклоны в ядре связаны между собой ядерными силами притяжения, и, поскольку для осуществления этой связи необходима энергия (которой неоткуда взяться, кроме как из самих нуклонов), на эту связь нуклонов при образовании ядра при их сближении должна каким-то образом расходоваться часть массы самих нуклонов.  Разница суммарной массы покоя составляющих ядро нуклонов и массы покоя   ядра  называется избытком (или дефектом) масс и обозначается Dm. Таким образом, в общем случае избыток массы ядра с массовым числом A и числом протонов в нем z найдется как Dm = zm_p + (A - z)m_n - M_я                                           (1.6) Энергия, потребная для разделения ядра на составляющие его нуклоны, называется энергией связи ядра.Разумеется, эта энергия чис­ленно равна энергии, затраченной при создании ядра из отдельных нукло­нов, а потому в соответствии с законом А.Эйнштейна она должна определять­ся избытком (дефектом) массы: Е_св= Dm ^.c² = [zm_p + (A - z)m_n - M_я] с².                                     (1.7) Часть энергии связи, приходящаяся в среднем на один нуклон ядра e_св = E_св/ A,                                                       (1.8) называется удельной энергией связи. Эта величина является средней характеристикой ядерных сил, стягивающих нуклоны в ядре. Благодаря точному измерению масс ядер и составляющих их нуклонов стало возможным точно проанализировать характер изменения e_св в создан­ных Природой устойчивых ядрах различных масс. Представление о резуль­татах такого анализа даёт график рис.1.1, из которого следует, что при малых значениях массовых чисел ядер величина удельной энергии связи e_св с ростом A резко увеличивается, достигая максимума при A = 50 ÷ 60 а.е.м., а при дальнейшем увеличении A - плавно уменьшается.

Рис. 1.1. Распределение удельной энергии связи в ядрах различных масс.

Из характера зависимости e_св(A) следуют две принципиальные возможности получения ядерной энергии: а) синтез лёгких нуклидов, например, дейтерия ₂D¹ по схеме: ₂D¹ + ₂D¹ ® ₄He². У дейтерия e_св = 1.11 МэВ/нуклон, следовательно, у двух ядер дейтерия, уча­ствующих в процессе синтеза, суммарная энергия связи Е_св = 2 ^.1.11 + 2 ^.1.11 = 4.44 МэВ. У продукта синтеза - гелия - e_св = 7.07 МэВ/нуклон, следовательно, энергия связи четырёх его нуклонов Е_св = 4 ^.7.07 = 28.28 МэВ Разница суммарных энергий связи гелия и двух ядер дейтерия будет DЕ_св = 28.28 - 4.44 = 23.84 МэВ, и эта энергия высвободится при синтезе ядра гелия из двух ядер дейтерия. б) деление ядер тяжёлых элементов, например, ядра ²³⁵U: ²³⁵U ®¹³⁹La + ⁹⁶Mo (одна характерная из множества возможных схем деления ²³⁵U). У лантана e_св = 8.4 МэВ/нуклон, у молибдена e_св = 8.5 МэВ/нуклон, следовательно, суммарная энергия связи для этих двух осколков деления: Е_св = 8.4 ^.139 + 8.5 ^.96 = 1983.6 МэВ. У урана e_св = 7.6 МэВ/нуклон, следовательно, суммарная энергия связи нук­лонов в нём Е_св = 7.6 ^.235 = 1786.0 МэВ. Разница энергий связи осколков деления урана и самого ядра урана DE_св = 1983.6 - 1786.0 = 197.6 МэВ, и эта энергия высвободится при делении ядра урана-235. Устойчивость нуклидов (то есть их способность к длительно­му существованию без изменений структуры и характеристик) должна опре­деляться их массой A и зарядом z. Исследования стабильных ядер показа­ли, что устойчивость ядер зависит от величины (A-z)/z, т.e. от соотношения чисел нейтронов и протонов в ядре.  Диаграмма устойчиво­сти(см. рис.1.2), которая как раз и иллюстрирует величину этого соот­ношения в зависимости от массового числа ядер, наглядно свидетель­ствует о том, что:

Рис.1.2. Нейтронно-протонное отношение в устойчивых ядрах различных масс.

а) в ядрах лёгких элементов (с атомной массой до 20 а.е.м.) нейт­ронно-протонное отношение приблизительно равно 1,то есть в лёгких ус­тойчивых ядрах содержится приблизительно одинаковое число протонов и нейтронов; б) с дальнейшим ростом атомной массы нуклидов А диапазон устойчи­вости смещается в область больших нейтронно-протонных отношений, которые дос­тигают при больших значениях А величины 1.65. Из последнего свойства устойчивых нуклидов следует важный практи­ческий вывод: при делении тяжёлых ядер образующиеся осколки деления будут наверняка неустойчивы (то есть радиоактивны) по причине их пересы­щенности избыточными для их устойчивости нейтронами. Для того, что­бы образовавшийся при делении осколок стал устойчивым (или, по крайней мере, стал менее неустойчивым), он должен ка­ким-то образом сбросить, испустить из своего состава избыточные для его ус­тойчивости  нейтроны.  Что и наблюдается в действительности. Испускание свободных нейтронов при делении тяжёлых ядер, имеющее решающее значение для осуществлениясамоподдерживающейся цепной ядер­ной реакции деления, обусловлено именно этим фактом. На устойчивость ядер сильное влияние оказывает чётность или нечётность чисел протонов и нейтронов в них.Из всех исследованных природных стабильных ядер - 167 являются чётно-чётными (то есть содержащими чётное число протонов и чётное число нейтронов); - 55 - являются чётно-нечётными (с чётным числом протонов z и не­чётным числом нейтронов A - z); - 53 - являются нечётно-чётными (с нечётным числом протонов и чётным числом нейтронов); - и лишь 4 являются нечётно-нечётными, и это все ядра лёгких эле­ментов (₂Н¹, ₆Li³, ₁₀В⁵ и ₁₄N⁷). Высокую устойчивость чётно-чётных ядер объясняют при­родной склонностью протонов и нейтронов группироваться в ядрепарами с противоположными спинами. Одинаковость плотностей нуклонов в ядрах, плотности ядер­ного вещества, а также одинаковость среднего расстояния между соседни­ми нуклонами в стабильных ядрах (см.п.1.3.9) позволили на основе ана­логии ядерной структуры и несжимаемой жидкости построить капельную мо­дель ядра атома и на её основе получить полуэмпирическую формулу для величины энергии связи - формулу Вайцзеккера: E_св= αA -βA^2/3 - γz²/A^1/3 - ε(A/2 -z)²/A + σ,                                (1.4.5) где: - αA - энергия связи ядра массой А в предположении, что все нуклоны равноценны и каждый из них взаимодействует толькос ближайшими к нему соседями (подобно вандерваальсовому взаимодействию молекул в капле несжимаемой жидкости); величина коэффициента α = 15.56 МэВ уста­новлена экспериментально; - ΔE₁ = βA^2/3 - поправка на то, что находящиеся на поверхности яд­ра нуклоны связаны с соседями слабее, чем нуклоны внутри ядра (подобно поверхностным молекулам в капле воды); коэффициент β = 17.23 МэВ; - ΔE₂ = γ z²/A^1/3 - вторая поправка на ослабление ядерных сил при­тяжения за счёт наличия кулоновского отталкивания протонов в ядре; ве­личина эмпирического коэффициента γ = 0.71 МэВ; - ΔE₃ = ε(A/2 - z)²/A - третья поправка на ослабление энергии свя­зи вследствие отклонения протонно-нейтронного отношения от единицы, называемая поправкой на протонно-нейтронную асимметрию;  величина коэффициента ε = 93.46 МэВ; - величина четвертой поправки σ - поправки на чётность - равна:    +σ - для чётно-чётных ядер;    0 - для ядер с нечётными массовыми числами A;    -σ - для нечётно-нечётных ядер; Абсолютная величина этой поправки вычисляется по формуле: σ = kA^-3/4,  где k = 34 МэВ. Энергия связи ядра - по сути своей - энергия потенциаль­ная. Стабильное ядро (как и всё стабильное в Природе) должно обладать минимумом потенциальной энергии. Энергетическое состояние ядра с мини­мумом его потенциальной энергии, из-за чего и достигается его дли­тельная стабильность, называется основным состоянием. Привнесение в стабильное ядро извне дополнительной энергии сверх уровня энергии основного состояния  обязательновыводит ядро из устой­чивого состояния, делает его нестабильным (или возбуждённым, или радиоак­тивным). Реализуя свое природное стремление к устойчивости, воз­буждённое ядро стремится "скатиться" к уровню основного состояния пу­тём сбрасывания избытка энергии сверх уровня устойчивости с излучением из своего состава микрочастиц или жёсткого гамма-излучения. Этот физи­ческий процесс называется радиоактивным распадом ядра.