1.1.2 Различные псс

Двоичная система счисления

Произвольное число Хв двоичной системе представляется в виде полинома

, (1.5)

где каждый коэффициент aiможет быть либо 0, либо 1.

Примеры изображения чисел в двоичной ПСС:

1=1₂ 2=10₂

3=11₂ 4=100₂

5=101₂ 6=110₂

7=111₂ 8=1000₂

9=1001₂ 10=10102

11=1011₂12=1100₂

13=1101₂14=1110₂

15=1111₂ 16=10000₂

0.5=0.1₂ 0.25=0.01₂

Таблица сложения чисел в двоичной ПСС имеет вид:

0+0=0 1+0=1

0+1=1 1+1=10

Таблица умножения в двоичной ПСС имеет вид:

0*0=0 1*0=0

0*1=0 1*1=1

Так как в двоичной ПСС для изображения любых чисел используется только два знака, то при построении ЭВМ можно использовать элементы, которые находятся в двух состояниях (например, высокое или низкое напряжение, есть или нет электрического импульса, и т.п.). Любые арифметические операции для двоичной ПСС сводятся к операциям сложения или сдвига. Это обстоятельство, а также простота выполнения арифметических операций являются причиной того, что большинство современных ЭВМ используют двоичную ПСС.

Восьмеричная ПСС

В этой ПСС базисными числами являются 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Запись любого числа в восьмеричной ПСС основывается на его разложении по степеням числа восемь с коэффициентами, являющимся указанными выше базисными числами. Например, десятичное число 83.5 в восьмеричной ПСС будет изображаться в виде 123.4₈. Действительно, по определению эта запись означает представление числа в виде полинома

18² + 28¹ +38⁰ +48^-1 = 64 + 16 + 3 + 4/8 = 83.5

Шестнадцатеричная ПСС

В этой ПСС базисными являются числа от нуля до пятнадцати. Так как арабских цифр не хватает для обозначения всех базисных чисел, то пришлось ввести в употребление новые символы. Таким образом, для обозначения базисных чисел в шестнадцатеричной ПСС используется ряд символов: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, b, c, d, e, f. Например, десятичное число 175.5 в шестнадцатеричной ПСС будет записываться в виде af.8₁₆. Действительно:

1016¹ + 1516⁰ + 816^-1 = 160 + 15 + 8/16 = 175.5

Смешанные ПСС

Иногда, числа, заданные в ПСС с основанием Р, приходится изображать с помощью цифр другой ПСС с основанием Q, где Q < P. Такая ситуация возникает, когда ЭВМ, способная воспринимать только двоичные числа, должна работать и изображать десятичные числа, к которым привыкли люди. В этих случаях используются смешанные системы счисления, в которых каждый коэффициент Р-ичного разложения числа записывается в Q-ичной системе. При этом для представления каждой Р-ичной цифры отводится одно и тоже количество Q-ичных разрядов, достаточное для представления любого базисного числа Р-ичной системы. Например, число 925.3 в двоично-десятичной системе запишется в виде 1001 0010 0101. 0011 (для каждой десятичной цифры отводится тетрада двоичных разрядов). Обозначают смешанную систему счисления также с помощью нижних индексов, например: 925.310 = 1001 0010 0101.00112-10