Матричное исчисление
.docМатричное исчисление
Обозначения, терминология
Матрица размеров - система mn чисел (элементов матрицы), расположенных в прямоугольной таблице из m строк и n столбцов. Если m = n, матрицу называют квадратной матрицей порядка n. Обозначения:
или более кратко соответственно
Две матрицы А и B одинаковых размеров равны (запись А = В), если
- нулевая матрица,
- матрица, противоположная матрице A,
- трапециевидная (ступенчатая) матрица
- матрица-строка.
- матрица-столбец,
- верхняя треугольная матрица,
- нижняя треугольная матрица,
- диагональная матрица,
- скалярная матрица,
- единичная матрица,
(кратко: где - символ Кронекера).
Если все действительны, то матрица A называется действительной; если хотя бы одно из чисел комплексное, то матрица называется комплексной.
Сложение матриц
Суммой матриц и одинаковых размеров называется матрица тех же размеров, у которой Обозначение: C = А + В.
Свойства сложения матриц: А + В = В + А, (А + В) + С = A + (B + C), А + 0 = A, А + (-A) = 0, A, B, C.
Вычитание матриц
А - В = А + (-В).
Умножение матрицы на число
Произведением матрицы на число называется матрица тех же размеров, у которой Обозначение:
Свойства , и
Умножение матриц
Произведением матрицы размером на матрицу размером назвается матрица размером у которой Обозначение: C = AB.
Свойства AE = EA = A, AO = OA = O, (AB)D = A(BD), (AB) = (A)B = A(B), (A + B)D=AD + BD, D(A + B) = DA + DB (при условии, что указанные операции имеют смысл).
Для квадратных матриц А и B, вообще говоря,
Транспонирование матриц
Свойства:
Специальные классы квадратных матриц
Симметрические матрицы:
- симметрическая
Кососимметрические матрицы:
- кососимметрическая
Ортогональные матрицы:
- ортогональная
Невырожденные (неособенные) матрицы:
Вырожденные (особенные) матрицы:
Обратная матрица
Матрица - обратная для матрицы A, если
Для квадратной матрицы A обратная существует тогда и только тогда, когда
где - алгебраические дополнения элементов матрицы A.
Свойства:
Элементарные преобразования матрицы
Элементарными преобразованиями матрицы называют:
1) умножение какой-нибудь строки (столбца) на отличное от нуля число;
2) прибавление к какой-нибудь строке (столбцу) другой ее строки (столбца), умноженной на произвольное число;
3) перестановку местами любых двух строк (столбцов).
Вычисление обратной матрицы
Если с помощью элементарных преобразований строк квадратную матрицу A можно привести к единичной матрице E, то при таких же элементарных преобразованиях над матрицей E получим .
Пример.
Ранг матрицы
Ранг матрицы - наивысший порядок отличных от нуля ее миноров. Обозначение: rank A.
Базисный минор матрицы - любой отличный от нуля минор порядка r = rank A.
Системы линейных уравнений
Общий вид системы
, i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n, - коэффициенты системы; - свободные члены; - переменные;
Если все = 0, система называется однородной.
Матричная запись системы линейных уравнений
AX = B,
где
Матрицу A называют матрицей (или основной матрицей) системы. Матрицу
называют расширенной матрицей системы, а матрицу для которой AС = В, - вектор-решением системы.
Критерий совместности линейных уравнений
Система совместна тогда и только тогда, когда rank A = rank D.
Правило Крамера
Если m = n и то система совместна и имеет единственное решение или, что то же самое, где - определитель, полученный из det A заменой i-го столбца столбцом свободных членов.
Общее решение системы линейных уравнений
Если система линейных уравнений AX = B совместна, rank A = r и, например, - базисный минор матрицы системы, то она равносильна системе
Придавая переменным (свободным переменным) получаем однозначно (например, по правилу Крамера) Тогда - решение исходной системы.
Метод Гаусса
Метод Гаусса - метод последовательного исключения переменных. С помощью элементарных преобразований строк расширенной матрицы D системы матрицу A системы приводят к ступенчатому виду:
Если среди чисел есть отличные от нуля, система несовместна.
Если то:
1) при r = n исходная система равносильна системе:
имеющей единственное решение (сначала находим из последнего уравнения , из предпоследнего и т. д.);
2) при r < n исходная система равносильна системе:
имеющей бесчисленное множество решений ( - свободные переменные).
Однородные системы линейных уравнений
Однородная система линейных уравнений AX = 0 всегда совместна. Она имеет нетривиальные (ненулевые) решения, если r = rank A < n.
Для однородных систем базисные переменные (коэффициенты при которых образуют базисный минор) выражаются через свободные переменные соотношениями вида:
Тогда n - r линейно независимыми вектор-решениями будут:
а любое другое решение является их линейной комбинацией. Вектор-решения образуют нормированную фундаментальную систему.
В линейном пространстве множество решений однородной системы линейных уравнений образует подпространство размерности n - r; - базис этого подпространства.
Определители
Определения
В перестановке чисел 1, 2, ..., n два числа и составляют инверсию, если i < j, но >. Число всех возможных инверсий данной перестановки обозначают Перестановку называют четной, если I - четное число, и нечетной, если I - нечетное число.
Определитель (детерминант) квадратной матрицы - число (обозначение )
где означает, что суммирование производится по всем перестановкам чисел 1, 2, ..., n.
В частности n = 2
при n = 3
На рис. 5.2 проиллюстрирован закон, по которому составляется определитель матрицы третьего порядка: слева дано правило вычисления положительных членов определителя, справа - отрицательных.
Миноры определителя
Минор элемента определителя порядка n - определитель порядка n - 1, полученный из вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.
Главные миноры определителя
Для главные миноры есть определители
Алгебраические дополнения
Алгебраическое дополнение элемента определителя - определитель где - минор элемента .
Разложение определителя
По элементам i-й строки:
По элементам j-го столбца:
Например, при n = 4 разложение по первой строке
Свойства определителя
1.
2. Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) определителя равны нулю, то определитель равен нулю.
3. Если матрица B получена из матрицы A перестановкой двух каких-либо ее строе (столбцов), то
4. Общий множитель всех элементов произвольной строки (столбца) определителя можно вынести за знак определителя.
5. Определитель, содержащий две пропорциональные строки (столбца), равен нулю.
6. Пусть - квадратная матрица порядка n; k - фиксированное натуральное число: - матрицы, которые получаются из A заменой ее k-й строки (столбца) соответственно строками (столбцами) Тогда
7. Определитель не меняется от прибавления к какой-либо его строке (столбцу) другой его строки (столбца), умноженной на произвольное число.
8. Если какая-либо строка (столбец) определителя есть линейная комбинация других его строк (столбцов), то определитель равен нулю.
9.