Лекция 19. Формула Тейлора. Ряд Тейлора
.docЛекция 19. Формула Тейлора. Ряд Тейлора.
19.1. Формула Тейлора1.
Рассмотрим произвольный многочлен степени n:
.
Пусть – любое фиксированное число. Полагая , получим:
. (19.1)
Запишем также в виде
, (19.2)
где – числа, зависящие от и – коэффициенты разложения по степеням . Например, .
Из (19.1) не видно, что от на самом деле не зависит. Найдём производные :
. (19.3)
Следующие производные равны нулю.
Полагая в формулах (19.2) и (19.3) , получаем:
, , , , ,
то есть
. (19.4)
Таким образом,
. (19.2*)
Это формула Тейлора для многочлена по степеням .
Отметим, что правая часть (19.2*) фактически не зависит от .
Пример 19.1. Пусть , .
,
, ,
после чего получаем формулу бинома Ньютона
.
19.2. Остаточный член формулы Тейлора.
Рассмотрим любую функцию , которая имеет непрерывные производные до -го порядка в некоторой окрестности точки . Составим многочлен Тейлора n-й степени по степеням :
. (19.5)
совпадает с функцией в точке , но для всех x он не равен . Кроме того,
, , .
Положим
. (19.6)
Здесь – остаточный член формулы Тейлора. Он показывает, какую погрешность мы допускаем при замене на многочлен Тейлора (19.5).
Если функция имеет в окрестности точки непрерывную производную , то для из этой окрестности найдётся точка такая, что
(остаточный член в форме Лагранжа).
Функцию можно записать в виде:
. (19.6*)
Если , то формулу (19.6*) называют формулой Маклорена1.
Известны и другие формы остаточного члена формулы Тейлора.
Остаточный член в форме Коши: , где .
Формула Тейлора с остаточным членом в смысле Пеано2:
.
Эта формула приспособлена для изучения функции в окрестности точки .
19.3. Ряд Тейлора.
Определение 19.1. Выражение вида
, (19.7)
или
, (19.7*)
где – числа, зависящие от индекса k, называется рядом (числовым рядом).
Определение 19.2. Конечные суммы называются частичными суммами ряда (19.7).
Определение 19.3. Если существует конечный предел
, (19.8)
то говорят, что ряд (19.7) сходится к числу S и называют S суммой ряда:
.
Определение 19.4. Если предел частичных сумм Sn ряда (19.7) не существует или равен , то ряд (19.7) называется расходящимся рядом.
Если функция имеет производные любого порядка в окрестности точки , то можно функцию представить в виде суммы
.
Такое разложение называется рядом Тейлора функции по степеням . Если , то это будет ряд Маклорена.
Особый интерес представляет тот случай, когда ряд Тейлора функции по степеням сходится в некоторой окрестности точки и при том к самой функции . Если это имеет место, то
, , (19.9)
то есть функция есть сумма её ряда Тейлора в некоторой окрестности точки . В этом случае говорят, что функция разлагается в ряд Тейлора по степеням , сходящийся к ней.
♦ Теорема 19.1. Пусть функция на отрезке имеет производные любого порядка и остаток её формулы Тейлора стремится к нулю при на этом отрезке:
. (19.10)
Тогда функция разлагается в ряд Тейлора на этом отрезке.
Доказательство. Пусть функция имеет на отрезке производные любого порядка. Тогда эти производные непрерывны на , потому что если имеет производную на , то производная непрерывна на .
Поэтому для нашей функции имеет смысл формула Тейлора:
, .
В силу (19.10)
.
То есть в этом случае многочлен Тейлора функции по степеням стремится при к самой функции:
, . (19.11)
А это означает, что ряд Тейлора функции сходится на и имеет своей суммой :
, . ■
♦ Теорема 19.2 (достаточный критерий сходимости остатка формулы Тейлора к нулю). Если функция имеет на отрезке производные любого порядка, ограниченные одним и тем же числом , , то остаток её формулы Тейлора на этом отрезке стремится при к нулю:
. (19.12)
Доказательство. Воспользуемся формой Лагранжа остаточного члена:
. (19.13)
Так как правая часть (19.13) стремится к нулю при , то имеет место (19.12). ■
19.4. Формулы и ряды Тейлора элементарных функций.
1) . Эта функция бесконечно дифференцируема на :
, , , .
Формула Тейлора с и остаточным членом в форме Лагранжа имеет вид:
, , .
На отрезке
,
где при . То есть на функция разлагается в ряд Маклорена по степеням x:
.
Пример 19.2. Вычислим e с точностью до 0,001:
, где , .
Надо подобрать n настолько большим, чтобы . Так как , решим неравенство . Оно начинает выполняться при . Следовательно,
.
2) . Данная функция имеет производную любого порядка и
.
Надо учесть, что
Функция разлагается в сходящийся к ней на ряд Тейлора по степеням x:
.
Формула Тейлора функции по степеням x имеет вид:
,
где
, .
Отсюда следует, что и
.
Пример 19.3. Вычислим .
Ряд Тейлора для синуса . Поэтому
,
то есть .
На самом деле остаток имеет вид , но для наших целей достаточно . Надо иметь в виду, что если некоторая функция от x есть , то она есть также (но вообще не наоборот).
3) . Аналогично можно получить, что
.
Пример 19.4. (с точностью до ).
Пример 19.5. Вычислим .
По аналогии с примером 19.3 получим
,
то есть .
4) Функция определена и сколько угодно раз дифференцируема для . Для при запишем формулу Тейлора. Так как , , то формула Тейлора имеет вид:
.
При , поэтому
.
Например, .
5) Функция . Производные , . Формула Тейлора по степеням x имеет вид:
.
Для при , поэтому
.
Если , то функция есть многочлен. В этом случае для и ряд представляет собой конечную сумму – многочлен Тейлора.
1 Тейлор Брук (1685-1731) – английский математик.
1 Маклорен Колин (1698-1746) – шотландский математик.
2 Пеано Джузеппе (1858-1932) – итальянский математик.