Лабораторная работа 1.

Тема: Генеральная совокупность и выборка. Вариационные ряды. Полигон и гистограмма. Числовые характеристики выборки.

Пример. Пятьдесят абитуриентов получили на вступительных экзаменах следующие баллы:

12, 14, 19, 15, 14, 18, 13, 16, 17, 12,

20, 17, 15, 13, 17, 16, 20, 14, 14, 13,

17, 16, 15, 19, 16, 15, 18, 17, 15, 14,

16, 15, 15, 18, 15, 15, 19, 14, 16, 18,

18, 15, 15, 17, 15, 16, 16, 14, 14, 17

Требуется:

1. составить вариационный ряд.

2. записать таблицу частот и относительных частот.

3. построить полигон частот и полигон относительных частот.

4. найти эмпирическую функцию распределения F^*(x). Построить ее график.

5. Найти числовые характеристики данной выборки: , D_в, σ_в, D_испр.в., моменты второго порядка ν^*_в, μ^*_в, коэффициент вариации V. Для нахождения воспользуйтесь определениями и известными теоремами, а полученные результаты проверьте с помощью статистических функций Excel.

Решение.

1) Объем данной выборки n = 50. Вариационный ряд (варианты, расположенные в порядке возрастания): 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20.¹

2) Составим таблицу частот и относительных частот. Частота n_k варианты – это количество повторов варианты в выборке. Относительная частота (частость) варианты – это отношение её частоты к объёму выборки

. (1)

Скопируем данную выборку в таблицу Excel и построим для нее таблицу частот и относительных частот. Для этого выполним следующие действия:

1. Заголовки строк (значения первого столбца) этой таблицы создадим в редакторе Microsoft Equation 3.0, для вызова которого выполним команды Вставка / Объект … / Microsoft Equation 3.0.

2. Подсчет частот вариант осуществим статистической функцией СЧЕТЕСЛИ. Для этого выполним команды Вставка / Функция / Статистические / СЧЕТЕСЛИ. В появившемся диалоговом окне в качестве диапазона введем диапазон ячеек, в котором располагаются значения вариант данной выборки, а в качестве условия введем =x_i, где x_i – это фиксированное значение варианты. Если выборка располагается в диапазоне A1:J5, то в ячейку B10 со значением частоты варианты x₁ = 12 следует ввести формулу СЧЕТЕСЛИ($A1:$J5; “=12”) (см. рис. 1, строка формул отображает формулу в выделенной ячейке).

3. Относительные частоты определяются формулой (1), которая для ячейки B11 примет вид = B10/50.

4. Итоговая таблица находится в диапазоне А9 : J11(см. рис. 1).

Замечание. При заполнении таблицы используйте операцию копирования и не забывайте об относительных и абсолютных ссылках!

Рис.1.

3) По полученной в п. 2) таблице построим полигон частот и полигон относительных частот. Полигоном частот (относительных частот) называется ломаная линия, соединяющая точки с координатами (x_i; n_i) (соответственно ( x_i , μ_i)). Для построения этих ломанных воспользуемся графическими средствами Excel.

1. Выполним команды Вставка / Диаграмма. В появившемся диалоговом окне выберем тип диаграммы – график с маркерами, помечающими точки данных. Нажмем кнопку Далее.

2. В следующем окне Мастера диаграмм укажем диапазон – диапазон частот B10:J10, расположив ряды в строках. На вкладке Ряд выберем в качестве подписей по оси Х диапазон значений вариант B9:J9. Нажмем кнопку Далее.

3. На третьем шаге Мастера на вкладке Линии сетки добавим по оси Х основные линии. Нажмем кнопку Далее.

4. На последнем шаге разместим диаграмму на имеющемся листе и нажмем кнопку Готово.

Полученная диаграмма представляет собой полигон частот (см. рис.2). Аналогично тому, как это делалось выше, построим полигон относительных частот (см. рис. 3).

Рис.2

Рис.3

4) Если закон распределения выборки задан таблицей относительных частот

x	x	x	x	…	x
				…

то эмпирическая функция распределения имеет вид

(2)

Для вычисления значений этой функции и построения ее графика в Excel создадим таблицу (см. рис. 4, диапазон ячеек A32 : K33). В первую строку введем значения правых концов промежутков |x_i , x_i+1| задания функции F^*(x). Поскольку далее требуется построить график этой функции, то в ячейку K32 вместо значения «» поместим любое значение, большее x_k = 20, например, «21». Во второй строке таблицы вычислим значения функции F^*(x) на соответствующем промежутке. Для этого в ячейку B32 введем значение «0», в ячейку С32 поместим формулу «=B33+B11» (в ячейке B11 находится значение относительной частоты ) и распространим ее путем копирования на последующие ячейки этой строки. По полученной таблице, воспользовавшись редактором формул Microsoft Equation 3.0, запишем функцию F^*(x) в виде (2). Например, значение «0,04» находится в ячейке С33, соответствующей ячейке С32, содержимое которой есть число «13» – правый конец промежутка . Следовательно, при функция F^*(x) принимает значение «0,04». В результате получим