Решение

∂w

=

1

+ 2xyz ,

∂w

= −

x

+

1

+ x

2

z ,

∂w

= −

y

+ x

2

y .

∂x

y

∂y

y2

z

∂z

z 2

Задача 5.1.15

Вычислить частные производные для функции двух переменных

1− xy

.

x2 + y 2

Решение

Используя правило дифференцирования частного, вычислим

∂z

− y x2 + y2

−(1 − xy)

1

(x2 + y2 )−

1

2x

∂z

− y x

2

+ y

2

−(1 − xy)

x

2

x2 +y2

=

2

=

∂x

, или

∂x

.

x2 + y2

x2 + y2

Поскольку переменные x и y входят в

аналитическое выражение

функции

симметрично, то частную производную

по y можно получить,

заменяя в

частной

производной

∂z

x на

y , а y

на x . То есть

∂x

∂z

− x x2 + y 2 −(1 − xy)

y

=

x2 +y2

.

∂y

x2 + y2

Путь функция двух переменных z = f (x, y)

определена на множестве

D R2 и

точка M 0(x0, y0 ) D . Частная производная

∂z

(M0 ) равна tg α , где α

-

угол между

∂y

z = f (x, y)

касательной, проведенной к пространственной кривой, заданной системой

,

x = x0

в точке с координатами x0, y0, f (x0, y0 ) и осью Oy .

Доказательство

При вычислении частной производной

∂z

(M0 ) переменная x

сохраняет постоянное

∂y

значение x = x0 . Функция z = f (x, y0 )

геометрически задает

линию

пересечения

поверхности z = f (x, y) с плоскостью x = x0 .

Из геометрического смысла производной

функции одной переменной следует, что

∂z

(M0 ) равняется угловому коэффициенту

∂y

касательной к этой кривой в точке с ординатой

y0 или tg α , где α – угол, который эта

касательная составляет с осью Oy (рис. 5.1.7).

z

x0

y0

y

α

x