Примерные экзаменационные задания

Случайные события

1. Студент знает ответы на 20 вопросов из 30. Какова вероятность того, что он вытащит на экзамене известный ему вопрос?

2. В студенческой группе 15 девушек и 10 юношей. Случайным образом (по жребию) выбирают одного. Найти вероятность того, что отобран будет юноша.

3. Из 10 лотерейных билетов выигрышными являются два. Определить вероятность того, что взятый на удачу билет окажется выигрышным.

4. В квадрате находится другой квадрат, сторона которого вдвое меньше. Найти вероятность того, что точка, брошенная в квадрат так, что любое ее положение в квадрате – равновозможное, окажется внутри второго квадрата.

5. Найти вероятность того, что брошенная в квадрат точка окажется внутри вписанного в этот квадрат круга, если ее любое положение в квадрате равновозможно.

6. Стрелок производит три выстрела по мишени. Вероятности попадания при первом, втором и третьем выстрелах соответственно равны 0.4, 0.5 и 0.7. Найти вероятность того, что в результате этих выстрелов окажется: а) одно попадание в мишень; б) хотя бы одно попадание.

7. Студент пришел на зачет, зная из 30 вопросов программы только 24. Чему равна вероятность сдать зачет, если для этого надо ответить на случайно доставшийся ему вопрос, а в случае неудачи ответить на дополнительный вопрос, предложенный ему преподавателем случайным образом.

8. На сборку поступают однотипные детали с трех предприятий, причем первое поставляет 50%, второе – 30% и третье – остальное количество. Вероятность появления брака для первого, второго и третьего поставщиков соответственно равны 0.05, 0.1 и 0.15. Выборочный контроль обнаружил брак. Какова вероятность того, что брак произошел по вине второго предприятия?

9. В сеансе одновременной игры с гроссмейстером играют 10 перворазрядников,15 второразрядников. Вероятность того, что в таком сеансе перворазрядник выиграет у гроссмейстера, равна 0.2, для второразрядника эта вероятность равна 0.1. Случайно выбранный участник выиграл. Какова вероятность того, что это был второразрядник?

10. Вероятность того, что образец бетона выдержит нормативную нагрузку, равна 0.9. найти вероятность того, что из 7 образцов испытания выдержат: ровно 5; не менее 5.

11. Для данного баскетболиста вероятность забросить мяч в корзину равна 0.7. Проведено 10 бросков. Что вероятнее: он забросит мяч в корзину 6 или 8 раз?

12. В первые классы школы должны быть приняты 200 детей. Вероятность рождения мальчика равна 0.515. Найти вероятность того, что среди них девочек и мальчиков будет поровну, и вероятность того, что мальчиков меньше, чем девочек.

13. На сборы приглашены 120 спортсменов. Вероятность того, что случайно выбранный спортсмен выполнит норматив равна 0.7. Определить вероятность того, что: выполнят норматив ровно 80 спортсменов; не менее 80.

14. Известно, что в среднем за месяц (30 суток) в районной сети водоснабжения возникает 90 ситуаций, требующих оперативного вмешательства аварийной службы. На сколько вызовов в сутки должна быть рассчитана эта служба, чтобы с вероятностью 0.9 она могла удовлетворить все поступающие за эти сутки заявки?

Случайные величины

1. Случайная величина Xзадана рядом распределения:

	1	2	3	4	5
	0.1	0.2	0.4	0.2	0.1

Найти P(X<2),P(X>4),P(). НайтиM(X),D(X),(X). Найти и построить функцию распределения данной случайной величины. Построить таблицу распределения и найтиM(X),D(X) для случайной величиныY=2X+2.

2. Дискретная случайная величина Х может принимать только два значения:Х₁иХ₂, причемХ₁<Х₂. Известны вероятностьp₁ = 0,1 возможного значенияХ₁ математическое ожиданиеМ(Х) = 3,9 и дисперсияD(Х)= 0,09.Найти закон распределения этой случайной величины.

3. Случайная величина Хзадана функцией распределенияF(х).Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

4. Известны математическое ожидание аи среднее квадратическое отклонениенормально распределенной случайной величины. Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал.

5. Вес цемента, упакованного автоматом в бумажный мешок, есть случайная нормально распределенная величина с математическим ожиданием, равным 50 кг и среднеквадратическим отклонением, равным 2 кг. Найти вероятность того, что: а) случайно выбранный мешок будет содержать не менее 48 кг цемента; б) партия из 100 мешков будет содержать не более 5040кг.

6. Ошибка измерений прибора распределена нормально с дисперсией 0.16 мм². Систематическая ошибка прибора отсутствует. Найти вероятность того, что ошибка измерения не превзойдет по модулю 0.6 мм.

7. Вес груза одного вагона – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием 65 т и среднеквадратическим отклонением 2 т. Найти вероятность того, что вес груза очередного вагона не превысит 70 т.

Математическая статистика

1. При проверке 100 деталей из большой партии обнаружено 10 бракованных деталей. Найти 95%-ный доверительный интервал для доли бракованных деталей во всей партии.

2. Построить график эмпирической функции распределения по данным выборки:

xi	4	7	8	12
ni	5	2	3	10

3. Через каждый час измерялось напряжение в электросети. Получены следующие значения:

227	219	215	230	232	223	220	222	218	219
222	221	227	226	209	211	215	218	220	226
216	220	220	221	225	224	212	217	219	220

Составить вариационный и интервальный (при h=4) ряды.

Построить гистограмму относительных частот: а) с шагом 1; б) с шагом 4.

Найти 99%-ный доверительный интервал для величины напряжения: а) по исходным данным; б) по интервальному ряду.

4. По данным 7 независимых измерений: 41,3; 42,4; 43,6; 39,6; 39,8; 40,1; 43 одной и той же физической величины оценить ее истинное значение с помощью 95%-ного доверительного интервала.

4. По данным nнезависимых измерений над нормально распределенной величиной получено выборочное среднее. Найти (при данном) доверительный интервал для математического ожидания этой величины, если среднеквадратичное ее отклонение известно:

а) б)

6. Построить график эмпирической функции распределения, полигон частот и относительных частот по данным выборки: