Дифференциал функции многих переменных

Дифференциалом функцииназывают сумму произведений частных производных этой функции на приращения соответствующих независимых переменных, т.е.(n– число аргументов).

Для функции двух переменных z=f(x,y) дифференциал можно записать.

По-другому дифференциал записывается как (для двух переменных).

Функция нескольких переменных z=f(х₁, х₂, …х_n) =f(X) называетсядифференцируемойв точке X, если ее полное приращение может быть представлено в виде, где dz - дифференциал функции,- бесконечно малые величины при Δх_j 0.

Таким образом, дифференциал функции нескольких переменных, как и в случае одной переменной, представляет собой главную, линейную относительно приращений аргументов, часть полного приращения функции.

Можно доказать, что если частные производные функции существуют в некоторой окрестности точки и непрерывны в самой точке, то функция дифференцируема в этой точке (достаточное условие дифференцируемости функции).

Дифференциалом функциимногих переменныхвторого порядканазывают сумму произведений частных производных второго порядка этой функции на приращения соответствующих независимых переменных:(n– число аргументов).

Для функции двух переменных z=f(x,y) дифференциал второго порядка можно записатьилидля непрерывных вторых производных.

Производная по направлению

Вводя понятие частной производной функции многих переменных, мы давали приращение переменным по отдельности, оставляя все остальные аргументы неизменными. В частности, если рассматривать функцию двух переменныхz=f(x,y), то либо переменнойxдавалось приращениеΔx, и тогда в области определения функции происходил переход из точки с координатами (x,y) в точку с координатами (x+Δx;y); либо переменнойyдавалось приращениеΔy, и тогда в области определения функции происходил переход из точки с координатами (x,y) в точку с координатами (x;y+Δy) (см. рисунок 5.6). Таким образом, точка, в которой мы брали частную производную функции, перемещалась в направлениях, параллельных координатным осям на плоскости (либо параллельно оси абсцисс, либо параллельно оси ординат). Рассмотрим теперь случай, когда направление может быть взято произвольно, т.е. приращения даются сразу нескольким переменным. Для случая функции двух переменных мы перейдем в точку (x+Δx;y+Δy), при этом перемещение составитΔl(см. рисунок 5.6).

При перемещении в данном направлении функция z получит приращение Δ_lz =f(x+Δx;y+Δy) –f(x,y), называемое приращением функции z в данном направленииl.

Производной z_l` по направлению lфункции двух переменныхz=f(x,y) называют предел отношения приращения функции в этом направлении к величине перемещенияΔlпри стремлении последней к нулю, т.е..

Производная z_l` характеризует скорость изменения функции в направленииl.

Понятие производной по направлению может быть обобщено на функции с любым числом переменных.

Рисунок 5.6 – Перемещение точки по направлению l

Можно доказать, что z_l` = z<sub>х</sub>`cosα+z_у`cosβ, где α и β – углы, образованные направлением перемещения точки с осями координат (см. рисунок 5.6).

Например, найдем производную функции z=ln(x²+xy) в точке (3; 1) в направлении, идущем от этой точки к точке (6; -3) (см. рисунок 5.7).

Для этого вначале найдем частные производные этой функции в точке (3; 1): z_x` = (2x+y)/(x<sup>2</sup>+xy) = (2*3 + 1)/(3<sup>2</sup>+ 3*1) = 7/12;z<sub>y</sub>` =x/(x²+xy) = 3/(3²+ 3*1) = 3/12 = 1/4.

Отметим, что Δx= 6 – 3 = 3;Δy= -3 – 1 = -4; (Δ l)²= 9 + 16 = 25; |Δ l| = 5. Тогдаcosα = 3/5;cosβ = -4/5; z_l` = z<sub>х</sub>`cosα+z_у`cosβ = (7/12)*(3/5) - (1/4)*(4/5) = (7/4)*(1/5) - (1/4)*(4/5) = (7*1 – 1*4)/(4*5) = 3/20.

Рисунок 5.7 – Перемещение точки (3; 1) в направлении, идущем к точке (6; -3)