42

Линейная алгебра 1

Матрицы 1

Операции над матрицами 2

Определители матриц 6

Обратная матрица 13

Ранг матрицы 16

Линейная независимость 21

Системы линейных уравнений 24

Методы решения систем линейных уравнений 27

Метод обратной матрицы 27

Метод решения систем линейных уравнений с квадратной матрицей по формулам Крамера 29

Метод Гаусса (метод последовательного исключения переменных) 31

Линейная алгебра Матрицы

Матрицаразмераmхn– это прямоугольная таблица чисел, содержащаяmстрок иnстолбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Матрицы принято обозначать заглавными латинскими буквами, а элементы – теми же, но строчными буквами с двойной индексацией.

Например, рассмотрим матрицу А размерности 2 х 3:

В этой матрице две строки (m= 2) и три столбца (n= 3), т.е. она состоит из шести элементовa_ij, гдеi- номер строки, j - номер столбца. При этом принимает значения от 1 до 2, а от одного до трех (записывается). А именно,a₁₁= 3;a₁₂= 0;a₁₃= -1;a₂₁= 0;a₂₂= 1,5;a₂₃= 5.

Матрицы А и В одного размера (mхn) называютравными, если они поэлементно совпадают, т.е.a_ij=b_ijдля, т.е. для любыхiиj(можно записатьi,j).

Матрица-строка– это матрица, состоящая из одной строки, аматрица-столбец– это матрица, состоящая из одного столбца.

Например, - матрица-строка, а.

Квадратная матрицаn-го порядка – это матрица, в число строк равно числу столбцов и равно n.

Например, - квадратная матрица второго порядка.

Диагональныеэлементы матрицы – это элементы, у которых номер строки равен номеру столбца (a_ij,i=j). Эти элементы образуютглавную диагональматрицы. В предыдущем примере главную диагональ образуют элементыa₁₁= 3 иa₂₂= 5.

Диагональная матрица– это квадратная матрица, в которой все недиагональные элементы равны нулю. Например,- диагональная матрица третьего порядка. Если при этом все диагональные элементы равны единице, то матрица называетсяединичной(обычно обозначаются буквой Е). Например,- единичная матрица третьего порядка.

Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны нулю.

Квадратная матрица называется треугольной, если все ее элементы ниже (или выше) главной диагонали равны нулю. Например,- треугольная матрица третьего порядка.

Операции над матрицами

Над матрицами можно производить следующие операции:

1. Умножение матрицы на число. Произведением матрицы А на числоназывается матрица В =А, элементы которойb_ij=a_ijдля любыхiиj.

Например, если, то.

2. Сложение матриц. Суммой двух матриц А и В одинакового размера m х n называется матрица С = А + В, элементы которой с_ij=a_ij+b_ijдляi,j.

Например, если то

.

Отметим, что через предыдущие операции можно определить вычитание матрицодинакового размера: разность А-В = А + (-1)*В.

3. Умножение матриц. Произведением матрицы А размераmxnна матрицу В размераnxpназывается такая матрица С, каждый элемент которой с_ijравен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементыj-го столбца матрицы В, т.е..

Например, если

, то размер матрицы-произведения будет 2 x 3, и она будет иметь вид:

В этом случае матрица А называется согласованной с матрицей В.

На основе операции умножения для квадратных матриц определена операция возведения в степень. Целой положительной степенью А^m(m > 1) квадратной матрицы А называются произведение m матриц, равных А, т.е.

Подчеркнем, что сложение (вычитание) и умножение матриц определены не для любых двух матриц, а только для удовлетворяющим определенным требованиям к своей размерности. Для нахождения суммы или разности матриц их размер обязательно должен быть одинаковым. Для нахождения произведения матриц число столбцов первой из них должно совпадать с числом строк второй (такие матрицы называют согласованными).

Рассмотрим некоторые свойства рассмотренных операций, аналогичные свойствам операций над числами.

1) Коммутативный (переместительный) закон сложения:

А + В = В + А

2) Ассоциативный (сочетательный) закон сложения:

(А + В) + С = А + (В + С)

3) Дистрибутивный (распределительный) закон умножения относительно сложения:

(А + В) = А +В

А (В + С) = АВ + АС

(А + В) С = АС + ВС

5) Ассоциативный (сочетательный) закон умножения:

(АВ) = (А)В = А(В)

A(BС) = (АВ)С

Подчеркнем, что переместительный закон умножения для матриц в общем случае НЕ выполняется, т.е. AB BA. Более того, из существования AB не обязательно следует существование ВА (матрицы могут быть не согласованными, и тогда их произведение вообще не определено, как в приведенном примере умножения матриц). Но даже если оба произведения существуют, они обычно разные.

В частном случае коммутативным законом обладает произведение любой квадратной матрицы А на единичную матрицу того же порядка, причем это произведение равно А (умножение на единичную матрицу здесь аналогично умножению на единицу при умножении чисел):

АЕ = ЕА = А

В самом деле,

Подчеркнем еще одно отличие умножения матриц от умножения чисел. Произведение чисел может равняться нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю. О матрицах этого сказать нельзя, т.е. произведение ненулевых матриц может равняться нулевой матрице. Например,

Продолжим рассмотрение операций над матрицами.

4. Транспонирование матрицыпредставляет собой операцию перехода от матрицы А размераmxnк матрице А^Тразмераnxm, в которой строки и столбцы поменялись местами:

%.

Свойства операции транспонирования:

1) Из определения следует, что если матрицу транспонировать дважды, мы вернемся к исходной матрице: (A^T)^T= A.

2) Постоянный множитель можно вынести за знак транспонирования: (А)^T=А^T.

3) Транспонирование дистрибутивно относительно умножения и сложения матриц: (AB)^T=B^TA^Tи (A+B)^T=B^T+A^T.