26

Производная и дифференциал 1

Понятие производной 1

Геометрический смысл производной 1

Физический и экономический смысл производной 2

Дифференцируемость функции 3

Схема вычисления производной 5

Основные правила дифференцирования 5

Производные основных элементарных функций 6

Производные высших порядков 7

Эластичность функции 8

Основные теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения 9

Экстремумы функции 13

Выпуклость функции 16

Асимптоты графика функции 19

Дифференциал функции 22

Применение дифференциала в приближенных вычислениях 24

Понятие о дифференциалах высших порядков 25

Производная и дифференциал Понятие производной

Пусть функция у = f(x) определена на промежуткеX. Возьмем точку хХ. Дадим значению х приращениех0, тогда функция получит приращениеу =f(x+х) -f(x).

Производнойфункции у =f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует):.

Производную также обозначают y' иdy/dx.

Геометрический смысл производной

Чтобы понять геометрический смысл производной, рассмотрим задачу о касательной.

Рассмотрим на плоскости график непрерывной функции у = f(x) (см. рисунок 3.1).

Построим касательную к этой кривой в точке М₀(х₀, у₀). Прежде всего, необходимо определить понятие касательной. Для этого дадим аргументу х₀приращениех и перейдем на кривой у =f(x) от точки М₀(х₀,f(x₀)) к точке М₁(х₀+х,f(х₀+х)). Проведем секущую М₀М₁. Подкасательнойк кривой у =f(x) понимают предельное положение секущей М₀М₁при приближении точки М₁к точке М₀, т.е. прих0.

Угловой коэффициент секущей М₀М₁(тангенс угланаклона этой прямой к оси абсцисс) может быть найден изМ₀М₁N:. Тогда угловой коэффициент касательной (тангенс угла) равен.

Таким образом, производная функции представляет собой тангенс угла наклона касательной к графику функции к оси абсцисс (угловой коэффициент касательной).

Физический и экономический смысл производной

Рассмотрим прямолинейное движение по закону s=s(t), гдеs- пройденный путь, аt– время. Необходимо найти скорость движенияvв моментt₀.

За промежуток времени tс моментаt₀будет пройдено расстояниеs=s(t₀+t) -s(t₀). Тогда средняя скорость за этот промежуток времени составитs/t. Чем меньше будет промежутокt, тем лучше это отношение будет оценивать скорость в момент времениt₀:.

Таким образом, производная функции представляет собой скорость изменения значения функции в точке. Этот смысл производной удобно использовать не только в физике, но и в экономике.

Например, если функция p=p(q) выражает зависимость прибылиpот объема произведенной продукцииq, то ее производная показывает предельный рост прибыли (скорость изменения прибыли при изменении объема производства):. Если функцияq=q(u) выражает зависимость объема производстваqот числа работниковu, то ее производная показывает скорость изменения этого объема при изменении числа работников:(предельная производительность дополнительного работника). Если функция описывает зависимость объема производства от времени, то получим производительность в единицу времени. Если функцияw=w(q) выражает зависимость издержек производства от количества выпускаемой продукции, то ее производная означает предельные издержки (приближенно показывает дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции):И т.п.

На основе понятия производной в экономике рассчитываются предельная выручка, предельный доход, предельный продукт, предельная полезность, предельная производительность и другие предельные величины.

Предельные величины характеризуют процесс изменения экономического объекта. Таким образом, производная выступает как скорость изменения некоторого экономического объекта (процесса) во времени или относительного другого исследуемого фактора.