Графическое представление статистических распределений

Для наглядности принято использовать следующие формы графического представления статистических распределений: полигоны и гистограммы.

Дискретный ряд изображают в виде полигона. Полигон частот- ломаная линия, отрезки которой соединяют точки с координатами (_i,_i); аналогичнополигон относительных частот- ломаная, отрезки которой соединяют точки с координатами (,w_i ).

Интервальный ряд изображают в виде гистограммы. Гистограмма частотесть ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основания которых - интервалы длиной, а высоты - плотности частот. Длягистограммы относительных частотвысоты прямоугольников - плотности относительных частот. Здесь в общем случае , однако на практике чаще всего полагают величинуhодинаковой для всех интервалов.где i=1, 2, ..., k.

Площадь гистограммы есть сумма площадей ее прямоугольников.

таким образом, площадь гистограммы частот равна объему выборки, а площадь гистограммы относительных частотравна единице.

В теории вероятностей гистограмме относительных частот соответствует график плотности распределения вероятности . Поэтому гистограмму можно использовать для подбора закона распределения генеральной совокупности.

Кумулятивныеряды графически изображают в видекумуляты. Для ее построения на оси абсцисс откладывают варианты признака или интервалы, а на оси ординат - накопленные частотыН() или относительные накопленные частоты, а затем точки с координатами (_i;H(_i )) или (_i;) соединяют отрезками прямой. В теории вероятностей кумуляте соответствует график интегральной функции распределения.

Замечание 1.Если в статистическом исследовании исходным является статистическое распределение в виде интервального ряда (сгруппированные данные), а исходный вариационный ряд недоступен, то точное расположение отдельных вариант, попавших в каждый из интервалов, неизвестно. Только выбирая в качестве аргумента эмпирической функции распределения правую границу интервала (x_i-1-x_i), мы уверены, что все варианты, попавшие в этот интервал, будут учтены (просуммированы) в значении накопленной частоты (накопленной относительной частоты), соответствующей этому интервалу.

Поэтому в случае интервального ряда значения иH(x) точно определены лишь для правой границы интервала:x=x_i. В остальных точках интервалаx_i-1 <x<x_i значенияиH(x) можно задать лишь приближенно. Примером может служить кумулята, отрезки прямых которой представляют собой выраженную в графической форме линейную интерполяцию значенийиH(x) на интервалеx_i-1 <x<x_i.

Замечание 2.В случае дискретного ряда использовать кумуляту для изображенияиH(x) можно лишь условно, для наглядности. Более корректным является изображение эмпирической функции распределения, а такжеH(x) по аналогии с теоретической функцией распределениядискретной случайной величины (рис. 3) ступенчатым графиком - отрезками прямых, параллельных оси абсцисс; длины отрезков -h_i =x_i - x_i-1 , расстояния от отрезков до оси абсцисс -, илиH(x_i).

Пример 1. Имеется распределение 80 предприятий по числу работающих на них (чел.):

	150	250	350	450	550	650	750
	1	3	7	30	19	15	5	.

Построить полигон распределения частот.

Решение. ПризнакХ- число работающих (чел.) на предприятии. В данной задаче признакХявляется дискретным. Поскольку различных значений признака сравнительно немного -k= 7, применять интервальный ряд для представления статистического распределения нецелесообразно (в прикладной статистике в подобных задачах часто используют именно интервальный ряд). Ряд распределения - дискретный. Построим полигон распределения частот (рис. 1).

Рис. 1

Пример 2. Дано распределение 100 рабочих по затратам времени на обработку одной детали (мин):

xi-1-xi	22-24	24-26	26-28	28-30	30-32	32-34
	2	12	34	40	10	2	.

Построить гистограмму частот.

Решение. ПризнакХ - затраты времени на обработку одной детали (мин). ПризнакХ -непрерывный, ряд распределения - интервальный. Построим гистограмму частот (рис. 2), предварительно определив(k= 6) и плотность частоты.

xi-1-xi	22-24	24-26	26-28	28-30	30-32	32-34
	1	6	17	20	5	1	.

Рис. 2

Пример 3. В распределении, данном в примере 1, найти накопленные частотыH(_i ) и построить кумуляту.

Решение. Используем значенияН(х):H(x₁)=0,H(x_i)=H(x_i-1)+m_i-1(i=2, 3, ј,k+1, k=7).

i	1	2	3	4	5	6	7	8
xi	150	250	350	450	550	650	750	850
mi	1	3	7	30	19	15	5	0
H(i )	0	0+1=1	1+3=4	4+7=11	11+30=41	41+19=60	60+15=75	75+5=80

На рис. 3 показана кумулята распределения предприятий по числу работающих (чел.).

Пример 4. В распределении, данном в примере 2, составить эмпирическую функцию распределения и построить кумуляту относительных частот.

Решение. Используем значенияН(х):H(x₀)=0,H(x_i)=H(x_i-1)+m_i(i=1, 2, ј,k,k=6).Проверка:1.

	i		0		1		2		3		4		5		6
	xi-1-xi		-Ґ-22		22-24		24-26		26-28		28-30		30-32		32-34
	mi		0		2		12		34		40		10		2
	H(i )		0		0+2=2		2+12=14		14+34=48		48+40=88		88+10=98		98+2=100
		0		0,02		0,14		0,48		0,88		0,98		1

Построим кумуляту распределения (рис. 4).

Рис. 3

Рис. 4