- •Лекции по дисциплине
- •2. Частные случаи расположения плоскости в пространстве
- •3. Различные уравнения плоскости в пространстве
- •4. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Расстояние от точки до плоскости
- •5. Различные уравнения прямой линии в пространстве
- •6. Взаимное расположение прямых в пространстве
- •7. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Общие точки прямой и плоскости
- •Общие точки прямой и плоскости
- •8. Скрещивающиеся прямые
- •9. Различные уравнения прямой на плоскости
- •Частные случаи расположения прямой на плоскости
- •10. Взаимное расположение двух прямых на плоскости
2. Частные случаи расположения плоскости в пространстве
Рассмотрим общее уравнение плоскости в пространстве:
.
1). Если , то общее уравнение примет вид
,
координаты точки удовлетворяют этому уравнению, значит плоскость проходит через начало координат.
2). Если , то уравнение будет иметь вид
,
тогда вектор нормали к плоскости будет перпендикулярен оси, значит данная плоскость параллельна оси.
3). Аналогично, для плоскость будет параллельна оси.
4). Для плоскость будет параллельна оси.
5). Если , то уравнение плоскости примет вид, то есть плоскость проходит через начало координат и параллельна оси, значит плоскость проходит через ось.
6). Если , то плоскость проходит через ось.
7). Если , то плоскость проходит через ось.
8). Если , то уравнение плоскости будет иметь вид , вектор нормали к плоскостиперпендикулярен плоскости, следовательно, данная плоскость будет параллельна плоскости.
9). Если , то плоскость параллельна плоскости.
10). Если , то плоскость параллельна плоскости.
11). Если , то уравнение плоскостиили, эта плоскость проходит через начало координат и параллельна плоскости, то есть это координатная плоскость.
12). Если , то есть-это уравнение координатной плоскости.
13). Если , то есть- это уравнение координатной плоскости.
3. Различные уравнения плоскости в пространстве
Рассмотрим общее уравнение плоскости в пространстве:
. (3.1)
Пусть плоскость не параллельна ни одной из осей, тогда эта плоскость отсекает на осях координат отрезки (см. рис).
Воспользуемся общим уравнением (3.1) плоскости, где
.
Найдем коэффициенты уравнения, используя координаты точек пересечения плоскости с осями координат. Так как эти точки лежат в плоскости, то их координаты удовлетворяют уравнению, следовательно,, откуда,
, тогда и, тогда. Подставляя эти соотношения в (3.1), получим, так как, разделим это равенство наи получим
. (3.2)
Это уравнение плоскости в отрезках на координатных осях, числа показывают, какие отрезки на осях координат отсекает данная плоскость.
Пусть известны координаты вектора нормали к плоскости и координаты точки, которая принадлежит плоскости. Надо составить уравнение данной плоскости.
Возьмем произвольную точку плоскости , тогда вектортоже будет принадлежать плоскости, вектор нормали, перпендикулярный плоскости, перпендикулярен любому вектору, лежащему в этой плоскости, то есть, а тогда скалярное произведение этих векторов равно нулю
(3.3)
Получили уравнение плоскости, проходящей через заданную точку с заданным вектором нормали. При всевозможных значениях равенство (3.3) определяет совокупность всех плоскостей, проходящих через точку, и называется уравнением связки плоскостей, проходящих через заданную точку.
Пример 1. Даны точки . Составить уравнение плоскости, проходящей через точкуи перпендикулярной вектору.
Решение. Вектор будет являться вектором нормали плоскости, его координаты равны. Теперь воспользуемся уравнением (3.3):
или
Пусть заданы три точки . Надо составить уравнение плоскости, проходящей через заданные точки. Для этого возьмем произвольную точкуэтой плоскости, тогда векторылежат в данной плоскости, то есть компланарны. Следовательно, их смешанное произведение равно нулю, или
(3.4)
Уравнение (3.4) – уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.