- •Лекции по дисциплине
- •2. Частные случаи расположения плоскости в пространстве
- •3. Различные уравнения плоскости в пространстве
- •4. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Расстояние от точки до плоскости
- •5. Различные уравнения прямой линии в пространстве
- •6. Взаимное расположение прямых в пространстве
- •7. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Общие точки прямой и плоскости
- •Общие точки прямой и плоскости
- •8. Скрещивающиеся прямые
- •9. Различные уравнения прямой на плоскости
- •Частные случаи расположения прямой на плоскости
- •10. Взаимное расположение двух прямых на плоскости
МИНИСТЕРСВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Инженерно-экономический факультет
Кафедра эконометрики и математического моделирования (ЭиММ)
Лекции по дисциплине
«Линейная алгебра»
для направления 080100 «Экономика»
Рязань 2012
Темы 5, 6. Элементы аналитической геометрии
на плоскости и в пространстве
1. Общее уравнение плоскости в пространстве
Положение плоскости в пространстве относительно выбранной системы координат определяется ее расстоянием от начала координат ( ) и единичным вектором, который перпендикулярен плоскости и направлен от начала координат к плоскости.
Возьмем на плоскости произвольную точку . При движении точки по плоскости ее радиус-векторменяется, но он все время связан некоторым условием, а именно:
Так как , то
это нормальное уравнение плоскости в векторной форме.
Если воспользоваться тем, что , то получим нормальное уравнение плоскости в координатной форме :
Утверждение. Любое уравнение первой степени с тремя переменными определяет плоскость.
Доказательство. Рассмотрим уравнение 1-ой степени с тремя переменными
Пусть - проекции постоянного векторана оси координат;- проекции радиус-вектораточки, тогда уравнение примет вид
Рассмотрим три случая : 1) пусть , разделим левую и правую части уравнения на,
получим
обозначим , так как, то, получаем
2) пусть , разделим левую и правую части уравнения на, уравнение примет вид
обозначим >0 , тогда вновь получим
3) пусть , в этом случае левую и правую части уравнения можно разделить наили на
, тогда уравнение примет вид
или
То есть линейное уравнение 1-ой степени с тремя переменными всегда может быть приведено к уравнению, являющемуся нормальным уравнением плоскости, значит оно определяет плоскость.
Линейное уравнение 1-ой с тремя переменными (2.32) называется общим уравнением плоскости. Из предыдущих рассуждений следует, что вектор , проекциями которого на оси координат являются коэффициентыпри переменных общего уравнения плоскости, коллинеарен единич-
ному вектору , перпендикулярному плоскости, будет перпендикулярен плоскости.
Определение 2.21. Любой ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости, называется вектором нормали плоскости.
Чтобы привести общее уравнение плоскости к нормальному, надо умножить его на нормирующий множитель
знак противоположен знаку коэффициента, если, то знак выбирается произвольно.
Следовательно, , тогда
Если , то берется верхний знак, если, то нижний знак.