Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Российский университет дружбы народов

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Rozova_Maximova

.pdf

Скачиваний:

153

Добавлен:

15.04.2015

Размер:

714.37 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

8. Необходимые условия экстремума второго порядка

8.1. Необходимое условие Лежандра

Рассматривается задача:

F(x) = f (t, x(t), x(t))dt → extr,

с краевыми условиями x(a)=xa, x(b)=xb в классе x(t) C1[a,b], функция f (t, x(t), x(t)) трижды непрерывно дифференцируе-

ма по совокупности переменных.

Тогда можно показать, что функционал F(x) дважды дифференцируем по Фреше.

Рассмотрим приращение функционала:

− f

(t, x, x))dt =

F(x)[h] = F(x + h) − F(x) = ( f (t, x + h, x + h)

∂f

= (

(t, x, x)

h +

∂f (t, x, x)

h)dt +

∂x

∂

(

f (t, x, x)

)dt +

∂x

∂x∂x

∂x

2 a

∂

(

h3 + 3

h2 h

+ 3

hh2

h3 )dt,

∂x

∂x∂x

∂x

3! a

∂x ∂x

где

∂

= ∂

f (t, x + θh, x + θh) ,

∂x3

∂

= ∂

f (t, x + θh, x

+ θh)

∂x

∂

f = ∂

(t, x + θh, x + θh)

∂x∂x

∂

f =

∂

f (t, x + θh, x + θh) .

Таким образом

∂x

F = L(x)[h] +

B(x)[h, h] + r(x, h),

r(x, h)

< ε

2 , если

< δ (ε ) .

Выделим отсюда вторую производную

F ′′(x)[h, h] =

∂

f (t

∂

(

, x, x)

+ 2

f (t, x, x)

)dt.

∂x

∂x∂x

∂x

2 a

Преобразуем второе слагаемое

∂

(t, x, x)

hhdt =

f (t, x, x)

dh2 =

∂x∂x

∂

f (t, x, x)

ba −

(

f (t, x, x)

)h2 dt =

∂x∂x

∂

= −

(

f (t, x, x)

2 dt

∂x∂x

(первое слагаемое равно нулю в силу закрепленных концов).

Таким образом,

F ′′(x)[h, h] =

∂

d ∂

∂

((

f (t, x, x)

−

f (t, x, x)

(t, x, x)

)dt.

∂x

∂x∂x

∂x

2 a

Пусть

∂

Q(t) =

f (t, x, x)

−

f (t, x, x)

P(t) =

f (t, x, x)

∂x

∂x∂x

Тогда F ′′(x)[h, h] = 1 b (Q(t)h2 + P(t)h2 )dt. 2 a

Получим необходимое условие экстремума второго порядка или условие Лежандра.

Теорема (условие Лежандра). Пусть функционал

F(x) имеет в точке xˆ = xˆ(t) минимум (максимум) и существу-

ет FФ′′(xˆ)[h, h] , тогдаP(t) =	∂ 2 f	ˆ
ет FФ′′(xˆ)[h, h] , тогдаP(t) =	2	(t, xˆ.x) ≥ 0 (≤ 0).
	∂x

Док-во. от обратного. Проведем доказательство для случая минимума. Пусть существует точка t* [a,b] такая,

	∂ 2 f		(t*, xˆ	ˆ
чтоP(t*) =		2	(t*, xˆ	(t*), x	(t*)) < 0 . В силу непрерывности,
	∂x

без ограничения общности, можно считать, что точка t* не лежит на границе отрезка [a,b]. Тогда существует окрест-

					∂ 2 f	ˆ
ность S			δ (t) точки t такая, что		2	(t, xˆ, x) < 0 , t Sδ (t*) .
					∂x
В	то же время, по необходимому					условию	минимума,
F ′′(xˆ)[h, h] ≥ 0 , h X .				Построим			функцию
h	(t − t*) C1[a,b], такую, что
0
				0,t [a,b] \ Sδ (t*),
			h0 (t − t) = 1,t = t,
				[0,1],t Sδ (t*).
		Из построения и непрерывной дифференцируемости
указанной функции вытекает, что
	S	δ	(t) : h′ (t − t) > c > 0	при t		. Построим совокуп-
		δ	0

ность функций hm(t) таких, что hm(t)=h0(m(t-t*)).

Тогда
h′	(t) = mh′	(m(t − t*)) > mc > 0 при t		.
h′	(t) = mh′	(m(t − t*)) > mc > 0 при t		.
m	0		m
			m

Подставим теперь полученные функции hm(t) в функционал

FФ′′(xˆ)[h, h] .

t*+δ			t*+δ
FФ′′(xˆ)[hm , hm ] =	Q(t)hm2 (t)dt + P(t)hm2 (t)dt =
t*−δ			t*−δ
t*+δ
= Q(t)hm2 (t)dt +			P(t)hm2 (t)dt + P(t)hm2 (t)dt
t*−δ	Sδ (t*)\
		m		m

В полученной сумме первое слагаемое ограничено по непрерывности; второе – отрицательно (по предположению), а третье – оценивается сверху следующим образом:

P(t)hm2 (t)dt ≤ kc2 m2 m < 0 , k<0.

Итак, m можно выбрать сколь угодно большим, тогда знак ограниченного интеграла не будет влиять на знак суммы. Таким образом, получим

FФ′′(xˆ)[hm , hm ] < 0

для некоторого достаточно большого номера m, что противоречит условию FФ′′(xˆ)[h, h] ≥ 0, h X . Теорема доказана.

Замечание. Для максимума		необходимое условие
	∂ 2 f	ˆ
Лежандра будет иметь вид: P(t) =	2	(t, xˆ, x) ≤ 0 .
	∂x

8.2.Сопряженные точки. Уравнение Якоби

исвойства его решений

Рассматривается задача:

b	с	краевыми условиями

F(x) = f (t, x(t), x(t))dt → extr,
a	1

x(a)=xa, x(b)=xb в классе x(t) C [a,b], f (t, x(t), x(t)) трижды

непрерывно дифференцируема по совокупности переменных. Как было сказано, вторая производнаяFФ′′(xˆ)[h, h] функцио-

нала F(x) преобразуется к виду:

F ′′(x)[h, h] =

∂

((

f (t, x, x)

−

f (t, x, x)

)dt.

∂x

∂x∂x

∂x

2 a

Подставляя в производную конкретную кривую

xˆ = xˆ(t) ,

получим

F ′′(x)[h, h] =

(Q(t)h2

+ P(t)h2 )dt, где

2 a

∂

d ∂

∂

Q(t) = (

f (t, x, x)

−

f (t, x, x)

)

P(t) =

(t, x, x)

x= xˆ

x= x

∂x

∂x∂x

∂x

Подынтегральное

выражениеQ(t)h

является

+ P(t)h

квадратичной формой с непрерывными коэффициентами, а

функции Q(t) и P(t)

связаны с конкретной траекторией. Рас-

смотрим функционал (Q(t)h2 + P(t)h2 )dt

и напишем для не-

го уравнение Эйлера.

Q(t)h −

P(t)h = 0 , где

∂

d ∂

∂

Q(t) = (

f (t, x, x)

−

f (t, x, x)

)

P(t) =

f (t, x, x)

x= xˆ

x= x

∂x

∂x∂x

∂x

Полученное уравнение называется уравнением Якоби для функционала F(x). Уравнение Якоби является линейным дифференциальным уравнением второго порядка с непрерывными коэффициентами.

Опр. 1. Пусть h(t) – решение уравнения Якоби с краевыми условиями h(a) = 0, h(a) = c ≠ 0 . Тогда точка τ(a,b] называется сопряженной с точкой a для кривой x(t), если h(τ)=0.

Свойства решений уравнения Якоби.

	1. Любое решение уравнения Якоби,			удовлетворяющее
	условиям h(a) = 0, h(a) = c ≠ 0 ,		представимо в виде
	~	~
	h(t) = ch (t) , где	h (t) – также решение уравнения Яко-
	би, удовлетворяющее условиям		~	~
			h (a) = 0, h (a) = 1.
	Док-во. Пусть	~	уравнения		Якоби и
		h (t) – решение
~	~			~	(t) . Пока-
h	(a) = 0, h (a) = 1. Рассмотрим функцию			h(t)=c h

жем, что она тоже является решением уравнения Якоби. Действительно,

Q(t)h −

P(t)h

= Qch

−

P(t)ch

= Qh

−

P(t)h = 0 .

также является решением,

причем с на-

То есть h(t)=c h (t)

(a) = c . А по

чальными условиями h(a) = ch

(a) = 0, h(a) = ch

теореме существования и единственности другого решения с таким же начальными условиями быть не может. Что и требовалось доказать.

Замечание. Из этого свойства следует, что для нахо-

ждения сопряженных точек τ не нужно рассматривать все константы c, а достаточно рассмотреть одно решение с крае-

выми условиями h(a) = 0, h(a) = 1.

2.Если на (a,b] нет сопряженных точек, то δ*>0, такое, что на интервале (a–δ*,b] также нет сопряженных точек.

Док-во. Пусть h(t) – решение уравнения Якоби с начальными условиями h(a) = 0, h(a) = 1. Без ограничения

общности, можно считать, что задача определена на более широком интервале [a1,b]. Тогда по теореме о непрерывной зависимости решения от начальных данных для произвольного решения h1(t) с начальными данными

h	(a ) = 0, h		(a ) = 1 , причем	a − ε ′ < a < a , где ε ′ ≤ ε . Име-
1	1	1	1	1

ем

ε > 0 δ (ε ) > 0 : a1 − a < δ h1 (t) − h(t) < ε , t [a, b].

Таким образом, если параметр a1 в начальных данных

решения h1(t) отличается не более, чем на δ от параметра а в начальных данных решения h(t), то само решение h1(t) за-

ключено в пределах ε –трубки траектории h(t) и не может пересекать ее. Таким образом, h1(t) может обратиться в нуль

только на интервале (a1 , a) (a − ε , а) . Если на интервале (a1, a) нет такой точки τ1, что h1(τ1)=0, то утверждение доказано. Поэтому пусть τ1 (a1, a) : h1(τ1)=0. Тогда по непре-

рывности			и так как решение возрастает, θ1 (a1,τ1):
h	(θ	) = 0 .	Выберем последовательность	{ε	n	}→ 0, n → ∞ .
1	1				n

Проводя аналогичные рассуждения для каждого интервала

(a –ε n , a), либо на некотором шаге не найдем очередного τn и

тогда искомое δ * = ε ′ , либо если

n N, τ n (an , a) : hn (τ n ) = 0 ,

то можно выбрать соответствующую последовательность та-

ких θ n (an ,τ n ) , что hn (θ n ) = 0 . Однако поскольку при

n → ∞, an → a , то и θ n → a , т.к. an ≤ θ n ≤ τ n ≤ a, n N . По непрерывной зависимости от начальных данных, поскольку

hn → h , то и hn → h . Соответственно, переходя в соотноше-

нии hn (θ n ) = 0 к пределу при n → ∞ , получаем h(a ) = 0 – противоречие. Что и доказывает утверждение.

8.3. Свойство знакопостоянства второй производной функционала

Теорема. Квадратичная				форма			F ′′(x)[h, h]			положи-
				∂	2
тельно определена, если P(t) =				∂		f (t, x, x)			> 0 на [a,b] и на
тельно определена, если P(t) =									> 0 на [a,b] и на
						2
						∂x
интервале (a,b] нет сопряженных точек.
Док-во. Пусть ω(t) C		1	[a, b] и ω				2
Док-во. Пусть ω(t) C			[a, b] и ω					= P(t)(Q(t) + ω).
Тогда рассмотрим
b									b
F ′′(x)[h, h] = [Q(t)h2 (t) + P(t)h2 (t)]dt + d(ω(t)h2 ) ,
a									a
b
где d(ω(t)h2 ) = ωh2	ba = 0 , т.к.			h(a)=h(b)=0 (в задаче с за-

крепленными концами).

F ′′(x)[h, h] = [Q(t)h2 (t) + P(t)h2 (t) + 2ωhh + ωh2 ]dt =

= [(Q(t) + ω)h	2					2	]dt =
= [(Q(t) + ω)h		+ 2ωhh			+ P(t)h		]dt =

a
b			ω
= P(t)(h +			ω	h)2 dt ≥ 0.
= P(t)(h +			P(t)	h)2 dt ≥ 0.
a			P(t)

Остается доказать два утверждения:

Утверждение 1. F ′′(x)[h, h] = 0 тогда и только тогда, когда h=0.

[a,b] : ω

Утверждение 2. ω(t) C

= P(t)(Q(t) + ω) .

Док-во утверждения 1. Если h=0,

то F ′′(x)[h, h] = 0 –

очевидно. Докажем, что

верно

обратное,

т.е. если

F ′′(x)[h, h] = 0 , то h(t)=0.

От

обратного:

пусть

существует

h0 ≠ 0 : F ′′(x)[h0 , h0 ] = 0 . Тогда

F ′′(x)[h0 , h0 ] = P(t)(h0

h0 )2 dt = 0 .

P(t)

Таким образом,

P(t)(h +

)

= 0,t

[a,b] .

P(t)

Заметим,

что функция

h0(t)≡0

является

решением

дифференциального уравнения

h = 0 с начальным

P(t)

условием h0(a)=0 и по теореме единственности не существует других решений с таким же начальным условием, что про-

тиворечит предположению о том, что h0

≠ 0 . Стало быть,

F ′′(x)[h, h] = 0 h=0. Утверждение 1 доказано.

Док-во утверждения 2.

уравнение.

= P(t)(Q(t) + ω) – дифференциальное

Тогда замена ω

= −

,u ≠ 0 на [a,b] приводит к уравнению:

(t)

−2

u 2

P(t)(Q(t) −

(u dt

P)u

) , или

(uP) − u

(t)

1 d

u 2

= Q(t) − u dt

u 2 , или

(uP) +

Q(t)u − dtd (uP) = 0 при u ≠ 0,t [a,b]. А это уравне-

ние Якоби. Следовательно, ω при данной замене удовлетворяет уравнению Якоби. По условию теоремы на интервале (a,b] нет сопряженных точек, тогда существует u(t) – решение уравнения Якоби, не обращающееся в ноль на (a,b]. По

второму свойству решений уравнения Якоби δ*: u(t) ≠ 0 на

(a-δ*,b]. Таким образом, u(t) – решение уравнения Якоби, отличное от нуля на [a,b]. Таким образом, определена иско-

мая функция ω = − uuP , что и доказывает утверждение 2. А

доказательство данного утверждения завершает доказательство теоремы.

Следствие. В условиях предыдущей теоремы сущест-

вует такая константа c>0, что F ′′(x)[h, h] > c h2 (t)dt (т.е.

F ′′(x)[h, h]снизу «отгораживается» от нуля).

Док-во. Рассмотрим уравнение Якоби:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.07.201960.93 Кб2Redakt.doc
#
21.03.2016144.9 Кб258referat-grazhdanskoe-pravo-dogovor-arendi.doc
#
29.08.2019213.5 Кб1Referat_po_deloproizvodstvu.doc
#
18.09.2019314.37 Кб4respuestas de nief y gas.doc
#
11.11.2019276.99 Кб17Revision of tenses, 1st year.doc
#
15.04.2015714.37 Кб153Rozova_Maximova.pdf
#
15.04.2015868.91 Кб31rukovodstvo_po_patanatomii_chast_1.pdf
#
21.03.20163.6 Mб18R_Atkinson_upravlenie_kratkovremennoy_pamyatyu.doc
#
21.03.20165.76 Mб104S.Lowry - Learning Surgery The Surgery Clerkship Manual - 2005.pdf
#
19.11.201969.12 Кб2Secrets of the world четверг.doc
#
02.11.2018222.72 Кб16SEMINAR-TRENING__KOMMUNIKATIVNO__ETIKI (1).doc