Rozova_Maximova

Обозначим первое слагаемое в приращении за L( x )[h] (это слагаемое линейно по h), а второе – за r( x ,h).

Для доказательства дифференцируемости нужно оценить остаток:

В силу условий на функцию f(t,x, x ) имеем:

Выбираем любое ε>0, так, чтобы K h < ε .

Тогда h < Kε = δ (ε ) .

Имеем r(x, h) < ε h, h < δ (ε ) , что и доказывает дифференцируемость по Фреше в C1[a,b] функционала F(x).

11

3.Принцип Ферма

исопутствующие утверждения

Лемма Ферма. Пусть функционал F(x): X→R диффе-

руемости F(x) по Фреше).

Что и требовалось доказать.

Замечание. Лемма остается верной и в случае дифференцируемости функционала F(x) по Лагранжу или Гато.

12

4. Экстремумы дифференцируемых функционалов

Напомним, что функционал F(x): X→ R имеет в точке x0 X локальный экстремум, если существует δ>0 такое, что

Замечание. Для дифференцируемости второго порядка, в отличие от первого, условие разложимости приращения

F в виде

F = L(x)[h] + 12 B(x)[h, h] + r1 (x, h)

с оценкой остатка

ε>0 δ>0: r1 (x, h) < ε h 2

не является определением дважды дифференцируемого функционала. (Здесь B(x)[h,h] - билинейный функционал, т.е. линейный по каждому аргументу при фиксированном другом.)

Вспомним теорему о необходимом и достаточном условии минимума для функции одного переменного.

Теорема. Пусть функция f(t) дважды дифференцируема в точке t0.

Необходимое условие экстремума: если в точке t0 функция достигает локального минимума, то

f ′(t0 ) = 0, f ′′(t0 ) ≥ 0 .

Достаточное условие экстремума: если f ′(t0 ) = 0, f ′′(t0 ) > 0 ,

то t0 –точка локального минимума функции.

14

Сформулируем аналогичную теорему для функционалов.

Теорема (необходимое и достаточное условие минимума дважды дифференцируемого функционала).

Пусть функционал F(x) дважды дифференцируем по Фреше в точке x. Необходимое условие экстремума: если точка x – точка локального минимума функционала F(x), то

Fф′ (x)[h] = 0, Fф′′(x)[h, h] ≥ 0, h X .

Достаточное условие экстремума: если

Fф′ (x)[h] = 0, Fф′′(x)[h, h] ≥ ch 2 , h X

при некотором c>0, то x – точка локального минимума функционала F(x).

Замечание. Таким образом, для функционалов требуется значительно более сильное достаточное условие, нежели для функции, – вторая производная должна быть отделена от нуля в соответствии с приведенной оценкой.

Док-во. Необходимость

Если функционал F(x) достигает минимума, то по

θ (x, h) < 1.

Учитывая такое представление остатка, по определению минимума выпишем условие знакопостоянства приращения:

F = 12 B(x)[h, h] + θ (x, h)ε h 2 ≥ 0 при h < δ (ε , x) .

15

Выберем произвольное h X и зафиксируем его. Рассмотрим направление th, t R:

F = 12 B(x)[th,th] + θ (x,th)ε th 2 =

Так как θ (x,th) ограничена, h 2 ≥ 0 , а ε – произвольно. Та-

ким образом, варьируя ε, мы всегда можем добиться того, чтобы знак приращения F определялся знаком первого сла-

гаемого 12 B(x)[h, h], следовательно, h X ,

F ′′(x)[h, h] = B(x)[h, h] ≥ 0 .

Достаточность

Запишем приращение в следующем виде:

сти, можно утверждать, что h X знак приращения определяется первым слагаемым 2c .

То есть h X ε>0: F≥0, т.е. функционал F(x) достигает минимума. Что и требовалось доказать.

16

Покажем на примере, что совокупность ограничений

Fф′ (x0 )[h] = 0, Fф′′(x0 )[h, h] > 0

не является достаточным условием экстремума дважды дифференцируемого функционала.

Пример.

Рассмотрим функционал F(x): X→ R.

выполнены.

Покажем, что точка x=0 не является точкой минимума для данного функционала. Пусть функция hε(t) имеет вид:

17

ε ,t = 0,

hε (t) = ε − t,0 < t < ε ,0,ε ≤ t ≤ 1.

Очевидно, что δ > 0, ε > 0 : hε < δ .

Предположим, что функционал F(x) имел бы в точке x минимум, тогда приращение имело бы постоянный знак в некоторой окрестности этой точки

F ≥ 0 при h < δ .

18

Возникает проблема нахождения функций x(t), удовлетворяющих (5.1). Для нахождения таких функций используется необходимое условие экстремума первого порядка, называемое уравнением Эйлера, которое имеет вид

∂f − d ∂f = 0 , t [a;b], x(a)=xa, x(b)=xb. ∂x dt ∂x

Опр.2. Функции, удовлетворяющие уравнению Эйлера, называются экстремалями. Экстремали, удовлетворяющие заданным краевым условиям, называются допустимыми экстремалями.

Для вывода уравнения Эйлера нам потребуется несколько утверждений, которые будут сформулированы и доказаны в данной главе.

5.1. Основные леммы вариационного исчисления

Лемма Лагранжа. Если A(t) C[a;b] и

b

A(t)h(t)dt = 0 , h(t) C [a;b]: h(a)=h(b)=0 , то A(t)≡0 на

a

отрезке [a;b].

Док-во. (от обратного).

Пусть A(t)≠0. Тогда t* (a;b): A(t*)=C≠0. Пусть C>0

(без ограничения общности можно считать, что точка t* не лежит на концах отрезка [a;b], так как, по непрерывности, если значение функции отлично от нуля в одном из концов отрезка, то оно отлично от нуля и в некоторой односторонней окрестности этой точки). Тогда, по непрерывности, су-

ществует окрестность Sδ( t*), в которой A(t)> С2 .

20