Rozova_Maximova

3. Найти допустимые экстремали, т.е. допустимые решения уравнения Эйлера для лагранжиана L(x) на векторе множите-

лей Лагранжа λ = (λ0 ,λ1 ,..., λm ) , не равном нулю.

При этом бывает полезно отдельно рассмотреть

случаи λ0=0 и λ0≠0. Во втором случае можно положить λ0 равным единице или любой другой, отличной от нуля константе.

Пример. Найти экстремаль в следующей задаче:

Решение. Составляем лагранжиан

Выписываем уравнение Эйлера для лагранжиана

λ1 − dtd λ0 2x = 0,

λ1 − 2λ0 x = 0.

Если λ0=0, то λ1=0, то все множители Лагранжа равны нулю, что противоречит правилу множителей Лагранжа.

Рассмотрим λ0 ≠ 0. Пусть λ0=0,5, тогда

x = λ1 , x = λ1t + C1 ,

x = λ1 t 2 + C1t + C2 . 2

Подставляем краевые условия и получаем

41

Подставляем полученное решение в изопериметрическое условие

Отсюда находим λ1=6, С1=–2.

Тогда допустимая экстремаль имеет вид xˆ = 3t 2 − 2t.

6.4. Задача Лагранжа

Пусть задан функционал от функции нескольких переменных

a

с краевыми условиямиx(a) = xa , x(b) = xb –заданные n-мерные векторы при наличии связей

Для нахождения экстремума в данной задаче используется следующая теорема.

Теорема. Пусть функции x1(t),…,xn(t) реализуют экстремум функционала (6.3) при наличии связей (6.4), а функции f, gk дважды непрерывно дифференцируемы по совокупности переменных.

Тогда существует ненулевой вектор λ (t) = (λ1 (t),...,λm (t)) такой, что x1,…,xn – стационарные кри-

вые лагранжиана:

42

Рассмотрим задачу Лагранжа для функции двух переменных.

Найти экстремум функционала

b

F( y, z) = f (t, y(t), z(t), y(t), z(t))dt → extr

a

с краевыми условиями

y(a) = ya , y(b) = yb , z(a) = za , z(b) = zb

при наличии связи

g(t,y(t),z(t))=0, y,z C1[a;b].

Теорема. Пусть xˆ = ( yˆ, zˆ) – решение задачи и функции f (t, y, z, y, z), g(t, y, z) – дважды непрерывно дифференцируемы по совокупности переменных в точке ( yˆ, zˆ) . Функционал F(y,z) дифференцируем по Фреше в точке xˆ = ( yˆ, zˆ) ,

т.е. существует F ′(xˆ)[h] = F ′( yˆ, zˆ)[ξ ,η ].

xˆ = ( yˆ, zˆ) – стационарная кривая лагранжиана

b

L(x) = ( f + λ (t)g)dt , где x(t)=(y(t),z(t)).

a

Док-во. Выпишем приращение функционала и воспользуемся формулой Тейлора:

43

Однако допустимыми являются не всякие функции ξ (t) и η (t) , а только удовлетворяющие ограничению

g(t,y+ξ,z+η)=0, т.е. ξ (t) и η (t) связаны между собой.

44

Тогда, учитывая непрерывность всех производных и функций, мы можем сказать, что ∂∂gz (t, y, z) ≠ 0 и в некоторой ок-

рестности Sδ(t*) точки t*.

Выразим явно η через ξ в этой окрестности:

− ∂g(t, y, z)

η (t) = ∂ ( ,∂y, ) ξ (t) , t Sδ(t*). g t y z

∂z

Теперь ξ не имеет ограничений, и воспользовавшись леммой Лагранжа, получим:

∂z

Откуда по правилу пропорции получаем:

Таким образом, имеем систему

45

X→Y, что для всех h X, для которых xˆ +h U, справедливо равенство

F( xˆ +h) –F( xˆ )=Lh+r(h)

с оценкой остатка

ε>0 δ>0: h X <δ r(h) Y < ε h X .

Оператор L называется производной по Фреше оператора F в точкеxˆ и обозначаетсяFФ′ (xˆ)[h] . Это можно записать следующим образом:

F(xˆ + h) − F(xˆ) − L(xˆ)[h] Y < ε h при h X < δ (ε , xˆ) .

Опр. 2. Оператор F(x) строго дифференцируем по Фреше в точке xˆ , если существует такой линейный непрерывный оператор L( xˆ ), что ε>0 δ(ε): x1 , x2 Sδ (xˆ) вы-

полняется условие

F(x1 ) − F(x2 ) − L(xˆ)[x1 − x2 ] Y < ε x1 − x2 X .

Опр. 3. Пусть M – некоторое линейное подпространство в линейном нормированном пространстве X. Аннулятором подпространства M в пространстве X называется множество линейных непрерывных функционалов, обладающих

следующим свойством: Λ M : ΛM = 0.

Замечание. M ≠ { }, так как нулевой оператор всегда принадлежит аннулятору.

Замечание. Если X,Y – линейные нормированные

пространства, а Z=X×Y также линейное нормированное пространство, то норма Z – это сумма норм

z Z = x X + y Y , z = (x, y) Z .

47

Лемма об аннуляторе. Если M – замкнутое собствен-

ное (M≠X) подпространство в X, то его аннуляторM всегда содержит хотя бы один ненулевой элемент.

Лемма. Пусть X,Y,Z – линейные нормированные про-

странства. Если A(x): X→Y, B(x): X→Z, C(x)=(A(x),B(x)):

X→Y×Z, ImA(Ker B) – замкнутое подпространство в Y, а ImB

– замкнутое подпространство в Z, то ImC – замкнутое подпространство в Y×Z.

Опр. 4. Норма линейного функционала F: X→R вводится как F = sup F(x) .

x≤1

Теперь вернемся к задаче Лагранжа. Пусть f(x): X→ R,

F(x): X→Y. Задача состоит в том, чтобы найти экстремум функционала f(x) при наличии ограничений F(x)=0.

Сформулируем необходимое условие экстремума данной задачи.

Пусть xˆ – решение поставленной задачи.

Теорема. Пусть X,Y – линейные нормированные Банаховы пространства, U( xˆ ) – открытое множество в X. Отображения f(x), F(x) строго дифференцируемы по Фреше в

множители Лагранжа) одновременно не равные нулю, такие, что для функционала

L(x) = λ0 f (x) + y*, F(x)

имеет место равенство

Lx (xˆ, λ0 , y*, h) = λ0 f ′(xˆ)[h] + y*, F ′(xˆ)[h] = 0 , h X,

48

т.е. экстремальxˆ является стационарной точкой лагранжиана.

Замечание. Рассмотрим отображение L(x): X→ R. Найдем производную L(x).

L= L(x + h) − L(x) =

=λ0 f (x + h) + y*, F(x + h) − λ0 f (x) − y*, F(x) =

=λ0 [ f (x + h) − f (x)] + y*, F(x + h) − y*, F(x) =

=λ0 [ f (x + h) − f (x)] + y*, F(x + h) − F(x) =

Рассмотрим каждый отдельно.

Случай I.

По условию, Im F ′(xˆ) – замкнутое линейное подпространство в Y, F ′(xˆ) – линейное непрерывное отображение, а следовательно, Ker F ′(xˆ) ={h X: F ′(xˆ) [h]=0} линейное подпространство в X. Тогда f ′(xˆ) [Ker F ′(xˆ) ] – линейное под-

пространство в R (в силу линейности и непрерывности производной f ′(xˆ) ).

49

то. Im F ′(xˆ) – замкнутое линейное подпространство в Y, f ′(xˆ) [Ker F ′(xˆ) ]– замкнутое линейное подпространство в R,

нутое подпространство в Z. По лемме об аннуляторе

Далее, поскольку линейный непрерывный функционал на прямом произведении линейных нормированных пространств представим в виде суммы линейных непрерывных функционалов на соответствующих пространствах, имеем

Λ(x, y) = x*, x + y*, y .

Λ( f ′(xˆ)[h], F ′(xˆ)[h]) = λ0 f ′(xˆ)[h] + y*, F ′(xˆ)[h] = 0 , h X.

Так как Λ≠0, то λ0 и y* одновременно в ноль не обращаются.

x

утверждение теоремы доказано.

Случай II. ~′( ˆ)

Im F x =Z.

Покажем, что в рамках условия теоремы этот случай не может иметь места. Для доказательства этого факта сформулируем теорему о неявной функции.

Теорема о неявной функции. Пусть X,Z – Банаховы

и выполнена оценка:

50