Rozova_Maximova
.pdf2. Итоговый контроль знаний (0–50 баллов) включает:
Итоговый контроль проводится в виде устного экзамена по билетам. Каждый билет состоит из двух теоретических вопросов и задачи.
0–40 баллов –2 теоретических вопроса по 20 баллов каждый;
0–10 баллов – задача.
Итоговая оценка выставляется в соответствии со следующей шкалой:
86–100 баллов – «отлично»; 69–85 баллов – «хорошо»;
51–68 баллов – «удовлетворительно»;
31–50 баллов – «неудовлетворительно» (Fx – имеется возможность пересдачи без повтора курса);
0–30 баллов – «неудовлетворительно» (F – возможность пересдачи в текущем семестре отсутствует, курс необходимо пройти заново).
В ведомость и зачетку выставляется также оценка по европейскому стандарту, в соответствии со следующей таблицей:
95–100 баллов – итоговая оценка «A»; 86–94 балла – итоговая оценка «B»; 69–85 баллов – итоговая оценка «C»; 61–68 баллов – итоговая оценка «D»; 51–60 баллов – итоговая оценка «E» 31–50 баллов – итоговая оценка «Fx» 0–30 баллов – итоговая оценка «F».
Таким образом, запись в зачетке выглядит следующим образом:
101
Методы оптимизации \ 4 \ Фамилия экзаменатора \ отлично (100,А) \ дата \ <Подпись экзаменатора>
Здесь число «4», стоящее в графе «Количество часов», означает количество кредитов, которые получает студент, сдавший экзамен по курсу.
4.Список вопросов к экзамену по курсу «Методы оптимизации».
1.Дифференцируемые функционалы. Производные по Лагранжу, Гато и Фреше.
2.Экстремумы дифференцируемых функционалов.
3.Единственность производной по Фреше.
4.Принцип Ферма и сопутствующие утверждения.
5.Необходимые и достаточные условия минимума дважды дифференцируемых функционалов.
6.Основные леммы вариационного исчисления.
7. Теорема |
|
ˆ |
|
существования |
производной |
||
|
d ∂f (t, xˆ |
(t)) |
|
|
|||
|
(t), x |
вдоль экстремали. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
∂x |
|
|
|
||
8.Теорема существования второй производной экстремали.
9.Вывод уравнения Эйлера для классической задачи с закрепленными концами.
10.Специальные случаи уравнения Эйлера.
11.Задача со свободными концами. Условия трансверсальности.
12.Условный экстремум. Изопериметрическая задача. Задача Лагранжа.
13.Правило множителей Лагранжа в общем случае.
14.Необходимое условие Лежандра.
15.Уравнение Якоби и свойства его решений. Сопряженные точки.
102
16.Условия положительной определенности второй производной функционала.
17.Достаточные условия слабого экстремума.
18.Поле функционала. Необходимые и достаточные условия поля.
19.Инвариантный интеграл Гильберта и его свойства.
20.Функция Вейерштрасса. Достаточные условия сильного экстремума.
21.Современная задача оптимального управления.
22.Линейные управляемые системы и задача оптимального быстродействия.
23.Принцип максимума Понтрягина – необходимое условие оптимальности.
24.Сопряженные системы и соответствующие леммы.
25.Достаточность принципа максимума в задаче оптимального быстродействия.
5.Программа курса «Методы оптимизации»
Тема 1. Общие понятия
1.1.Дифференцируемые функционалы. Производная Гато и Фреше.
1.2.Экстремум дифференцируемых функционалов.
1.3.Единственность производной Фреше.
1.4.Принцип Ферма и сопутствующие утверждения.
1.5.Классификация оптимальных задач.
Тема 2. Условия первого порядка в классических задачах
2.1. Основные леммы вариационного исчисления.
2.2. Теорема существования d ∂ f (t, x, x). dt ∂x
2.3. Гладкость экстремали.
103
2.4.Вывод уравнения Эйлера для классической задачи вариационного исчисления.
2.5.Задачи со свободными концами траектории. Условия трансверсальности.
2.6.Условный экстремум: задача Лагранжа и изопериметрическая задача.
2.7.Правило множителей Лагранжа в общем случае.
Тема 3. Условия второго порядка
3.1.Необходимое условие Лежандра.
3.2.Вторая производная классического функционала. Сопряженные точки. Уравнение Якоби и свойства его решений.
3.3.Усиленное условие Лежандра.
3.4.Достаточные условия слабого экстремума.
3.5.Поле функционала.
3.6.Достаточные условия сильного экстремума.
Тема 4. Оптимальное управление
4.1.Современная задача оптимального управления.
4.2.Линейные управляемые системы и задача оптимального быстродействия.
4.3.Принцип максимума Понтрягина – необходимое условие оптимальности.
4.4.Сопряженные системы и соответствующие леммы.
4.5.Достаточность принципа максимума в задаче оптимального быстродействия.
6. Календарный план учебных занятий по обязательной дисциплине «Методы оптимизации».
Направления подготовки «Математика. Прикладная математика», «Прикладная математика и информатика», «Математика. Компьютерные науки».
104
Виды и содержание учебных занятий
|
|
|
|
|
|
|
Кол- |
Неделя |
Лекции |
|
|
|
|
|
во |
|
|
|
|
|
|
|
часов |
1 |
Дифференцируемые функционалы. |
|
2 |
||||
Производная Гато и Фреше |
|
||||||
|
|
|
|||||
2 |
Экстремум дифференцируемых функционалов |
2 |
|||||
3 |
Единственность производной Фреше |
|
2 |
||||
4 |
Принцип Ферма и сопутствующие утверждения |
2 |
|||||
5 |
Классификация оптимальных задач. Основные |
2 |
|||||
леммы вариационного исчисления |
|
||||||
|
|
|
|||||
|
|
d |
∂f (t, x, x) |
|
|
||
6 |
Теорема существования |
|
|
|
|
. |
2 |
dt |
|
||||||
|
|
∂x |
|
|
|||
|
Гладкость экстремали. |
|
|
||||
7 |
Вывод уравнения Эйлера для классической |
2 |
|||||
задачи вариационного исчисления |
|
||||||
|
|
|
|||||
8 |
. Задачи со свободными концами траектории. |
2 |
|||||
Условия трансверсальности |
|
||||||
|
|
|
|||||
9 |
Условный экстремум: задача Лагранжа |
|
2 |
||||
и изопериметрическая задача |
|
||||||
|
|
|
|||||
10 |
Правило множителей Лагранжа в общем |
2 |
|||||
случае |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
Необходимое условие Лежандра |
|
2 |
||||
12 |
Вторая производная классического |
|
2 |
||||
функционала. Сопряженные точки. |
|
||||||
|
Уравнение Якоби и свойства его решений |
|
|
||||
13 |
Усиленное условие Лежандра |
|
2 |
||||
14 |
Достаточные условия слабого экстремума |
|
2 |
||||
15 |
Поле функционала. Достаточные условия |
|
2 |
||||
сильного экстремума |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||
16 |
Современная задача оптимального управления. |
2 |
|||||
Линейные управляемые системы и задача |
|||||||
|
оптимального быстродействия |
|
|
||||
|
Принцип максимума Понтрягина – необходимое |
|
|||||
17 |
условие оптимальности. |
|
2 |
||||
Сопряженные системы и |
|
||||||
|
|
|
|||||
|
соответствующие леммы |
|
|
||||
|
105 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Кол- |
|
Неделя |
Лекции |
во |
|
|
|
часов |
|
18 |
Достаточность принципа максимума в задаче |
2 |
|
оптимального быстродействия |
|||
|
|
||
19–20 |
ИТОГОВЫЙ КОНТРОЛЬ ЗНАНИЙ – |
|
|
ЭКЗАМЕН |
|
||
|
|
106
Список литературы
1.Алексеев В.М., Галлеев Э.М., Тихомиров В.М. Сборник задач по оптимизации. М.: Наука, 1984.
2.Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969.
3.Галеев Э.М. Оптимизация. Теория. Примеры. Задачи.
М.: УРСС, 2006.
4.Галеев Э.М., Зеликин М.И., Конягин С.В. и др. Оптимальное управление. М.: МЦНМО, 2008.
5.Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальных задач. М.: Издательство МГУ, 1989.
6.Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.
7.Краснов М.Л., Макаренко Г.Н., Киселев А.И. Вариационное исчисление. М.: УРСС, 2002.
8.Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1961.
9.Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. М.: Физматлит, 1960.
107
|
Содержание |
|
|
Введение...................................................................................... |
|
3 |
|
1. |
Элементы функционального анализа................................... |
|
5 |
2. |
Вариация по Лагранжу, производная Гато, производная |
||
Фреше .......................................................................................... |
|
7 |
|
3. |
Принцип Ферма и сопутствующие утверждения.............. |
12 |
|
4. |
Экстремумы дифференцируемых функционалов ............. |
14 |
|
5. |
Необходимое условие экстремума первого порядка ........ |
19 |
|
|
5.1. Основные леммы вариационного исчисления............ |
20 |
|
|
5.2. Вывод уравнения Эйлера для классической задачи |
|
|
|
вариационного исчисления.................................................. |
|
24 |
|
5.3. Специальные случаи уравнения Эйлера ..................... |
28 |
|
|
5.4. Уравнение Эйлера в многомерном случае................. |
32 |
|
|
5.5. Уравнение Эйлера для функционалов, зависящих от |
|
|
|
производных высших порядков.......................................... |
|
33 |
6. |
Условный экстремум............................................................ |
|
35 |
|
6.1. Задача с ограничениями типа равенств....................... |
35 |
|
|
6.2. Изопериметрическая задача ......................................... |
|
36 |
|
6.3. Решение изопериметрической задачи......................... |
40 |
|
|
6.4. Задача Лагранжа............................................................ |
|
42 |
|
6.5. Правило множителей Лагранжа в общем случае....... |
46 |
|
7. |
Задачи со свободными концами. |
|
|
Условие трансверсальности.................................................... |
|
53 |
|
8. |
Необходимые условия экстремума второго порядка........ |
61 |
|
|
8.1. Необходимое условие Лежандра ................................. |
|
61 |
|
8.2. Сопряженные точки. Уравнение Якоби и свойства |
|
|
|
его решений........................................................................... |
|
65 |
|
8.3. Свойство знакопостоянства второй производной |
|
|
|
функционала.......................................................................... |
|
68 |
|
8.4. Достаточные условия слабого |
экстремума........ |
72 |
|
8.5. Поле функционала......................................................... |
|
78 |
|
8.6. Инвариантный интеграл Гильберта |
и его свойства 81 |
|
|
8.7. Достаточные условия сильного экстремума.............. |
82 |
|
108
9. Оптимальное управление..................................................... |
89 |
9.1. Постановка задачи оптимального управления........... |
89 |
9.2. Линейная задача оптимального быстродействия.. |
91 |
9.3. Принцип максимума Понтрягина........................... |
93 |
Структура учебно-методического комплекса...................... |
100 |
Список литературы................................................................. |
107 |
109
Учебное издание
Валентина Николаевна Розова Ирина Сергеевна Максимова
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
Курс лекций
Учебное пособие
Тематический план 2012 г., № 26
Издание подготовлено в авторской редакции
Технический редактор Н.А. Ясько Дизайн обложки М.В. Шатихина