- •Высшая математика Программа, методические указания и задания
- •Часть I
- •Редакционно-издательским Советом тгсха в качестве
- •Содержание:
- •Содержание программы.
- •Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- •II. Введение в математический анализ.
- •III. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
- •IV. Исследование функций с помощью производных
- •V. Неопределенный интеграл.
- •VI. Определенный интеграл.
- •VII. Функции нескольких переменных.
- •Кратные интегралы.
- •IX. Криволинейные и поверхностные интегралы.
- •Методика самостоятельной работы студента при изучении математики.
- •Тема 1. Решение систем линейных уравнений.
- •Системы двух уравнений 1-ой степени с двумя переменными. Определители 2-го порядка.
- •Вычисление определителей 3-го порядка. Правило треугольников.
- •Разложение определителя по элементам 1-ой строки.
- •Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
- •Решение
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 2. Элементы аналитической геометрии на плоскости.
- •Основные формулы аналитической геометрии.
- •Примеры решения задач.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 3. Основы векторной алгебры.
- •3.1 Операции над векторами.
- •Векторное произведение
- •Смешанное произведение.
- •3. 2 Примеры решения задач.
- •3. 3 Вопросы для самопроверки.
- •Тема 4. Введение в анализ.
- •Понятие предела.
- •4.2 Способы раскрытия неопределённостей вида и .
- •Первый и второй замечательные пределы.
- •Непрерывность функции. Точки разрыва.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 5. Производная и дифференциал функции одного аргумента.
- •5. 1 Определение производной, дифференциала.
- •Основные правила дифференцирования.
- •Примеры решения задач.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 6. Приложения производной к исследованию поведения функции и построению графика и к другим задачам.
- •План исследования функции и построения графика.
- •Использование производной в задачах прикладного характера.
- •План действий при решении задач прикладного характера.
- •Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Контрольная работа № 1.
- •Тема 7. Неопределённый интеграл.
- •Определение неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование.
- •Свойства дифференциалов.
- •Способы интегрирования.
- •7. 3 Примеры решения задач.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 8. Определённый интеграл по отрезку.
- •Свойства определённого интеграла по a;b.
- •Правила вычисления определённого интеграла по a;b
- •Несобственные интегралы.
- •Приложения определённого интеграла по a;b
- •Примеры решения задач.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 9. Функции нескольких переменных.
- •Определение функции 2-х аргументов. Область определения функции.
- •Производные и дифференциалы функции 2-х аргументов. Основные формулы.
- •Примеры решения задач.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 10. Криволинейный интеграл.
- •Криволинейные интегралы по длине дуги и по координатам. Основные формулы.
- •9. Площадь фигуры, ограниченной простым замкнутым контуром с, находится по формуле:
- •10.2. Примеры решения задач.
- •10.3 Вопросы для самопроверки.
- •Контрольная работа № 2
- •Значение функции
- •Продолжение табл. 1
- •Значение функции
- •Продолжение табл. 2
9. Площадь фигуры, ограниченной простым замкнутым контуром с, находится по формуле:
10.2. Примеры решения задач.
Задача 1. Вычислить криволинейный интеграл I-го рода по длине дуги
где L- отрезок прямой от т. O(0;0) до B(4;3)
Решение:
Уравнение прямой имеет вид:
или
Находим тогда
Задача 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x2, x = y 2 и 8xy =1.
Решение:
Решая совместно уравнения кривых находим координаты точек A и B:
Значит, или
Это краткое решение. Более подробное решение имеет вид:
или
1. -дуга параболы y = x2; dy =2xdx; тогда
2. - дуга кривой тогда
3. -дуга кривой тогда
Задача 3. Дано
Проверить, что данное выражение является полным дифференциалом функции «U» и найти эту функцию.
Решение:
- требование полного дифференциала выполняется и данное
выражение можно записать , где U=U(x,y)- искомая функция.
Будем интегрировать dU по ломаной OAM (см. рис.)
y . M (x;y)
O(0;0) A(x;0) x
Учтя, что на пути OA y =0; dy=0 а на пути AM x=const, dx=0, получим:
Ответ:
Задача 4. Найти центр тяжести дуги полуокружности лежащей в верхней полуплоскости. Плотность считать равной единице.
Решение: Из соображения симметрии ясно, что центр тяжести лежит на оси (OY), поэтому
Xc=0.
Ордината , где dL-длина дуги.
- длина полуокружности, т.е
Тогда
Ответ:
10.3 Вопросы для самопроверки.
Как определяется работа при движении точки в силовом поле?
Дайте определение криволинейного интеграла I-го и II-го рода по данной линии.
Запишите условие независимости криволинейного интеграла II-го рода (по координатам) от линии интегрирования.
Укажите наиболее удобный способ вычисления криволинейного интеграла II-го рода от полного дифференциала функции U.
Как вычисляется криволинейный интеграл I-го рода (по длине дуги)? Привести пример.
Как найти площадь плоской фигуры, ограниченной замкнутой линией?