2. Приложения определённого интеграла по a;b

1. _{-площадь криволинейной трапеции, где y=f (x)- кривая, ограничивающая криволинейную трапецию, aABb- криволинейная трапеция.}

2. _{- площадь криволинейной трапеции, если кривая задана}

_{параметрически:}

_{3. - площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах, где r = r(a) - уравнение кривой.}

4. _{вычисление длины дуги кривой y=f(x) на a;b}

_{5. Вычисления объёма тела вращения.}

Если криволинейная трапеция вращается вокруг осиOX, то объём тела вращения вычисляется по формуле:

6. Статические моменты и моменты инерции дуги плоской кривой y=f(x), (a  x  b) вычисляются по формулам (соответственно):

где - дифференциал дуги кривойy=f(x)

7. Координаты центра тяжести однородной дуги плоской кривой y=f(x) (a  x  b)

выражаются формулами:

_{где L-длина дуги.}

Примеры решения задач.

Задача 1. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y=4x-x² и осью ОХ.

Решение:

x

Решая систему, найдём точки пересечения: x=0; x=4.

Фигура OABO- криволинейная трапеция.

Значит, _{(кв. ед)}

Задача 2. Найти длину дуги кривой y²=x³ от x=0 до x=1, (y  0).

Решение:

Дифференцируем уравнение кривой

_{Имеем: (ед.)}

Задача 3. Найти статический момент и момент инерции полуокружности

(-r  x  r) относительно оси OX.

Решение.

1.

_2.

_{Введём подстановку}

_{. Если x=0, то t=0, если x=r, то .}

_{Следовательно}

Задача 4. Найти площадь, заключённую внутри лемнискаты Бернулли

Решение: В силу симметрии достаточно вычислить одну четверть искомой площади, а затем учетверить результат.

По формуле _имеем

_{Отсюда S=a}²