- •Высшая математика Программа, методические указания и задания
- •Часть I
- •Редакционно-издательским Советом тгсха в качестве
- •Содержание:
- •Содержание программы.
- •Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- •II. Введение в математический анализ.
- •III. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
- •IV. Исследование функций с помощью производных
- •V. Неопределенный интеграл.
- •VI. Определенный интеграл.
- •VII. Функции нескольких переменных.
- •Кратные интегралы.
- •IX. Криволинейные и поверхностные интегралы.
- •Методика самостоятельной работы студента при изучении математики.
- •Тема 1. Решение систем линейных уравнений.
- •Системы двух уравнений 1-ой степени с двумя переменными. Определители 2-го порядка.
- •Вычисление определителей 3-го порядка. Правило треугольников.
- •Разложение определителя по элементам 1-ой строки.
- •Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
- •Решение
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 2. Элементы аналитической геометрии на плоскости.
- •Основные формулы аналитической геометрии.
- •Примеры решения задач.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 3. Основы векторной алгебры.
- •3.1 Операции над векторами.
- •Векторное произведение
- •Смешанное произведение.
- •3. 2 Примеры решения задач.
- •3. 3 Вопросы для самопроверки.
- •Тема 4. Введение в анализ.
- •Понятие предела.
- •4.2 Способы раскрытия неопределённостей вида и .
- •Первый и второй замечательные пределы.
- •Непрерывность функции. Точки разрыва.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 5. Производная и дифференциал функции одного аргумента.
- •5. 1 Определение производной, дифференциала.
- •Основные правила дифференцирования.
- •Примеры решения задач.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 6. Приложения производной к исследованию поведения функции и построению графика и к другим задачам.
- •План исследования функции и построения графика.
- •Использование производной в задачах прикладного характера.
- •План действий при решении задач прикладного характера.
- •Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Контрольная работа № 1.
- •Тема 7. Неопределённый интеграл.
- •Определение неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование.
- •Свойства дифференциалов.
- •Способы интегрирования.
- •7. 3 Примеры решения задач.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 8. Определённый интеграл по отрезку.
- •Свойства определённого интеграла по a;b.
- •Правила вычисления определённого интеграла по a;b
- •Несобственные интегралы.
- •Приложения определённого интеграла по a;b
- •Примеры решения задач.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 9. Функции нескольких переменных.
- •Определение функции 2-х аргументов. Область определения функции.
- •Производные и дифференциалы функции 2-х аргументов. Основные формулы.
- •Примеры решения задач.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 10. Криволинейный интеграл.
- •Криволинейные интегралы по длине дуги и по координатам. Основные формулы.
- •9. Площадь фигуры, ограниченной простым замкнутым контуром с, находится по формуле:
- •10.2. Примеры решения задач.
- •10.3 Вопросы для самопроверки.
- •Контрольная работа № 2
- •Значение функции
- •Продолжение табл. 1
- •Значение функции
- •Продолжение табл. 2
Вопросы для самопроверки.
Дайте определение функции, области определения. Приведите примеры.
Сформулируйте определение предела функции в точке.
Какая переменная величина называется бесконечно малой? Бесконечно большой в точке и на бесконечности
Что означают выражения: где C-const ?
Приведите пример бесконечно малой функции в т. x=2 и бесконечно большой функции в этой же точке (аналитический и графический).
Каким свойством обладает приращение аргумента и приращение функции, если функция непрерывна в точке x0 ?
Тема 5. Производная и дифференциал функции одного аргумента.
Пискунов, гл. III, § 1-26, упр 1-220
Гл. IV, § 1-7, упр 1-55.
5. 1 Определение производной, дифференциала.
1. Определение. Производной первого порядка от функции по аргументу x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что , т.е. или
2. , где - угол наклона касательной к
- уравнение касательной, проведённой в т.
3. - скорость изменения функции в т. x0.
Отыскание производной называется дифференцированием.
- дифференциал функции равен произведению производной функции на дифференциал аргумента.
Геометрически dyпредставляет собой приращение ординаты касательной к графику функции в заданной точке.
6. - дифференциал аргумента равен приращению аргумента.
- дифференциал функции и приращение функции равны лишь приближённо.
7. - формула для приближённых вычислений.
Таблица дифференциалов и производных основных элементарных функций.
Элементарные функции |
дифференциал |
производная |
1 |
2 |
3 |
1. Степенная функция | ||
2. Линейная функция a,b-постоянные y=x. | ||
3.Тригонометрич. функции y=sin x
y=cos x
y=tg x
y=ctg x |
|
|
4. Показательная функция , a-число |
| |
5. Логарифмическая функция y=ln x | ||
6. Иррациональная функция |
1 |
2 |
3 |
7. Обратно тригонометричес- кие функции y=arcsinx
y=arcos x
y= arctg x
y=arcctg x |
|
|
8. y=c c-const |
d(c)=0·dx |
|
Основные правила дифференцирования.
Пусть С- постоянное, и - функции имеющие производные.
Тогда :
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7) если , , т.е , где функции f (U) и U (x) имеют производные, то - правило дифференцирования сложной функции.
Примеры решения задач.
Задача 1.Найти производные или следующих функций:
а)
б)
в)
г)
Решение:
а) Пользуясь правилом логарифмирования корня и дроби, преобразуем правую часть:
Применяя правила и формулы дифференцирования, получим:
б) Предварительно прологарифмируем по основанию е обе части равенства:
Теперь дифференцируем обе части, считая сложной функцией от переменной х:
откуда
в) В данном случае зависимость между аргументом х и функцией у задана уравнением, которое не разрешено относительно функции у. Чтобы найти производную у', следует дифференцировать по х обе части заданного уравнения, считая при этом у функцией от х, а затем полученное уравнение решить относительно искомой производной у'. Имеем
Из полученного равенства, связывающего х, у, и у',
находим производную у':
откуда
г) Зависимость между переменными х и у задана параметрическими уравнениями. Чтобы найти искомую производную у', находим предварительно дифференциалы dy и dx и затем берем отношение этих дифференциалов
Задача 2. Найти производную второго порядка
а)
б)
Решение: а) Функция у задана в неявном виде. Дифференцируем по х обе части заданного уравнения, считая при этом у функцией от х:
(1)
откуда
Снова дифференцируем по х обе части (1):
(2)
Заменив у' в (2) правой частью (1), получим:
б) Зависимость между переменными x и у задана параметрическими уравнениями. Чтобы найти производную у', находим сперва дифференциалы dy и dx и затем берем отношение этих дифференциалов:
Тогда
Производная второго порядка . Следовательно, чтобы найти у", надо найти дифференциал dy':
Тогда
Задача 3. Найти приближенное значение функции при исходя из ее точного значения при
Решение: Известно, что дифференциал dy функции представляет собой главную часть приращения этой функции .Если приращение аргумента мало по абсолютной величине, то приращение приближенно равно дифференциалу, т. е. . Так как , а то имеет место приближенное равенство:
Пусть , т. е.
Тогда
и
(1)
Приближенное равенство (1) дает возможность найти значение функции при , если известно значение функции и ее производной при Прежде чем воспользоваться приближенным равенством ( 1 ) , находим числовое значение производной f'(x) при х= 6:
или
Применяя (1), получаем