Курс лекций по высшей математике. 2 часть

0 A B

0

1/12

B

B 1/12

1 4 A 2C

1 4 /12 2C

C 1/ 3

Так что имеем окончательно:

1

1

1/12x

1/ 3

.

x3

8 12 x 2

x2

2x 4

чи: для данной функции

f x

найти такую функцию F x , производная

которой равнялась бы f

x .

Функция F x

называется первообрàзной для функции

f

x

на

данном промежутке,

если для всех x из этого промежутка F

x

f

x

или, что то же самое,

dF x

f x dx.

нозначно. Так, для функции

f x

cos x первообразной является не

только sin x, но и sin x

3, и sin x

, и вообще sin x

С.

4

Теорема. Если функция F x

является первообразной для функции

f x

на отрезке

a;b ,

то всякая другая первообразная для

f x

отли-

чается от F x

на постоянное слагаемое, то есть может быть пред-

ставлена в виде F x

С,

где C–постоянная.

Доказательство. По определению первообразной

F x

f x , то-

гда

F x

C

F

x

C

f x ,

то есть при любом C=const функция

F x

С также является первообразной для f x . Покажем,

что перво-

образных другого вида нет. Если

Ф x –любая другая первообразная

функции

f

x ,

то

Φ x

f

x ,

тогда

Ф x

F x

Ф x

F

x

f x

f x

0 для любого x

a;b ,

а это

значит, что Ф x

F x

const, то есть Ф x

F x

С.

Из теоремы следует, что выражение

F x

С,

где F x –некоторая

первообразная функции

f

x ,

а C–произвольная постоянная, охватыва-

ет совокупность всех первообразных функции

f x .

Если

F x –одна из первообразных функции

f

x , то выражение

F x

С,

где C–произвольная постоянная, называется неопределенным

интегралом от функции

f

x

обозначается

f x dx.

Таким образом,

f

x dx

F x

C,

f x

называется подынтегральной функцией,

f

x dx – подынте-

гральным

выражением,

x–переменной

интегрирования, символ

–

f x dx

F x C

F x C f x ;

d

f

x dx

f

x dx dx

f x dx.

2.

d

x

x

C – неопределенный интеграл от дифференциала

ция

x

является первообразной для функции d

x , следовательно,

x

C является неопределенным интегралом от d

x .

Например,

dx

x C,

d cos x

cos x C.

3.

f

x

g x dx

f

x dx

g x dx –неопределенный интеграл

левой и правой частей равенства.

f x

g x

dx

f x g x –по свойству 1;

f x dx

g x dx

f x dx

g x dx

f x g x .

4. kf

x dx

k f x dx , где k=const–постоянный множитель можно

Например, для формулы 3: при x>0 ln

x

ln x

и

1

ln

x

C

ln x

;

x

1

1

.

при x<0 ln

x

ln x и

ln

x

C

ln

x

1

x

x

3x6

x4 5x3 2x

dx

3x6

x4

5x3

2x

dx

x4

x4

x4

x4

x4

3 x2 dx

dx 5

dx

2 x

3 dx 3

x3

x 5ln

x

2

x 2

C

x

3

2

x3

1

x

5ln

x

C

Пример 2.

x2

dx

sin2 x

cos2

x dx

sin2

x

dx

sin2 x cos2

x

sin2

x

cos2 x

sin2 x

cos2

x

cos2

x

dx

dx

dx

tgx

ctgx

C

sin2 x

cos2 x

cos2

x

sin2

x

2.Метод замены переменной–основан на использовании формулы

f

x dx

f

z

z dz,

(1)

где z–новая

переменная,

связанная с

x

соотношением

x

(z) ,

Пример.

z , тогда x

3

z 2 ,

dx

2zdz ]=

x

x

3dx =[пусть

x 3

z 5

z 3

2

3 5

= z 2

3

z 2zdz 2

3

C =

x

2

x

3 C .

5

3

5

dx

1

d kx

c , где k, c–константы.

k

Покажем на примерах применение этого соотношения.

Пример 1.

dx

1 d 3x 5

1

dz

1

1

ln

3x 5

C

3x 5 z

ln

z

C

3x 5 3 3x 5

3 z

3

3

Пример 2.

e1 4xdx

1

e1 4xd 1 4x

1 4x z

1

ezdz

1

ez

C

4

4

4

1 1 4x

e

C.

4

Пример 3.

d

x

dx

2

2

x

z

2

dz

2tgz

C 2tg

x

C.

cos

2 x

cos

2 x

2

cos 2

z

2

2

2

Пример 4.

dx

1

d 5x

5x

z

1

dz

1

arcsin

z

C

4 25x2

5

22 5x 2

5

22

z 2

5

2

1

arcsin

5x

C.

5

2

Переобозначив переменные, формулу (1) можно записать в виде

f

x

x dx

f

z dz,

(2)

где

x

z

новая переменная.

Заметим, что

x dx

d

x . Это преобразование называется под-

ведением под знак дифференциала. В частности,

xn dx

1

d xn 1 , n

1;

cos xdx

d sin x ;

n

1

dx

d ln x ;

dx

d tgx ;

x

cos 2

x

e x dx

d e x ;

dx

d ctgx ;

sin2

x

a x dx

1

d a x

;

dx

d arctgx

d arcctgx ;

x2

ln a

1

dx

d arcsin x

d arccos x ;

sin xdx

d cos x ;

1

x

2

Пример 1.