Курс лекций по высшей математике. 2 часть
.pdf
Если функция задана только в промежутке , то для разложения еѐ в ряд Фурье на этом промежутке, нужно сначала продолжить еѐ каким–то образом на промежуток ( e;0) , а затем продолжить периодически с периодом 2e на всю числовую ось. Чаще всего на промежуток
функцию продолжают чѐтным или нечѐтным образом.
Пример. Разложить функцию f (x) 1, заданную на [0;1] в ряд по синусам. Продолжим данную функцию в интервал ( 1;0) нечѐтным
образом, а затем продолжим периодически с периодом |
2e |
2 на всю |
|||||||||||||||||||||
числовую |
|
|
ось. |
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
a0 |
0, an |
0 . |
||||||||
|
|
|
2 e |
|
|
nx |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
b |
|
|
f (x) |
sin |
dx |
2 |
1 sin nx |
dx |
|
cos n x |
1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
n |
|
|
e 0 |
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
0, n |
|
2k |
|
|
|
|||
|
|
|
(cosn |
|
cos0) |
|
|
( 1)n |
1 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||||||
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
, n |
2k 1, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2k 1) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
k |
1,2, . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Получаем ряд Фурье: |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
(2k |
1) sin(2k |
1) x |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
113
СОДЕРЖАНИЕ |
|
ГЛАВА I |
|
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О КОМПЛЕКСНЫХ |
|
ЧИСЛАХ И МНОГОЧЛЕНАХ.................................................................. |
3 |
§1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА .................................................................. |
3 |
1. Понятие комплексного числа.................................................... |
3 |
2. Тригонометрическая и показательная формы |
|
комплексного числа................................................................................ |
4 |
3. Действия над комплексными числами ..................................... |
5 |
§2. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О МНОГОЧЛЕНАХ ..................................... |
7 |
1. Разложение многочлена на множители.................................. |
7 |
2. О кратных и комплексных корнях многочлена........................ |
9 |
3. Разложение правильных рациональных дробей |
|
на простейшие ..................................................................................... |
10 |
ГЛАВА 2 |
|
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ....................................................... |
13 |
§1.ПЕРВООБРÀЗНАЯ ФУНКЦИЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ........ |
13 |
1. Свойства неопределенного интеграла................................... |
15 |
2. Таблица основных неопределенных интегралов .................... |
16 |
§2. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ...................................... |
17 |
§3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ ............................... |
20 |
§4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ................ |
23 |
§5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЕЙ ........... |
25 |
ГЛАВА 3 |
|
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ............................................................ |
29 |
§1. ЗАДАЧА О ПЛОЩАДИ КРИВОЛИНЕЙНОЙ ТРАПЕЦИИ..................... |
29 |
§2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА .............................. |
30 |
§3. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.................................... |
32 |
§4. ПРОИЗВОДНАЯ ИНТЕГРАЛА С ПЕРЕМЕННЫМ |
|
ВЕРХНИМ ПРЕДЕЛОМ ................................................................................. |
33 |
§5. ФОРМУЛА НЬЮТОНА–ЛЕЙБНИЦА ............................................... |
34 |
§6. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ ................ |
36 |
§7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ ... |
37 |
§8. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА............................... |
37 |
ГЛАВА 4 |
|
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ .................................... |
43 |
§1. ФУНКЦИЯ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ, ЕЕ ОБЛАСТЬ |
|
ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ГРАФИК ........................................................................... |
43 |
§2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ......... |
44 |
§3. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ............................................................. |
46 |
§4. ПОЛНОЕ ПРИРАЩЕНИЕ И ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ. |
|
ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ.................................................... |
48 |
114
§5. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ ............................... |
50 |
|
§6. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ |
|
|
ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ ................................................................................... |
51 |
|
§7. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ. ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ. |
|
|
ГРАДИЕНТ .................................................................................................. |
53 |
|
ГЛАВА 5 |
|
|
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ............................................. |
56 |
|
§1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА .............. |
56 |
|
. Основные понятия ................................................................... |
56 |
|
2. |
Уравнения с разделяющимися переменными ......................... |
58 |
3. |
Однородные уравнения ............................................................ |
60 |
4. |
Линейные уравнения первого порядка .................................... |
61 |
§2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА .............. |
64 |
|
1. |
Основные понятия ................................................................... |
64 |
2. |
Уравнения, допускающие понижение порядка ...................... |
65 |
3. |
Линейные однородные уравнения второго порядка. |
|
Общие свойства решений ................................................................... |
66 |
|
4. |
Линейные однородные дифференциальные уравнения |
|
второго порядка с постоянными коэффициентами ........................ |
69 |
|
5. |
Линейные неоднородные уравнения второго порядка |
|
с постоянными коэффициентами ..................................................... |
73 |
|
ГЛАВА 6 |
|
|
РЯДЫ ........................................................................................................... |
|
81 |
§1.ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ .......................................................................... |
81 |
|
1. |
Основные понятия ................................................................... |
81 |
2. |
Простейшие свойства числовых рядов ................................. |
82 |
3. |
Достаточные признаки сходимости |
|
знакоположительных числовых рядов............................................... |
84 |
|
4. |
Знакопеременные ряды............................................................ |
91 |
5. |
Остаток ряда и его оценка .................................................... |
93 |
§2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ............................................................ |
94 |
|
1. |
Основные понятия ................................................................... |
94 |
2. |
Степенные ряды ...................................................................... |
94 |
3. |
Свойства степенных рядов..................................................... |
97 |
4. |
Разложение функций в степенные ряды ............................... |
97 |
5. |
Разложение некоторых элементарных функций |
|
в ряды Тейлора и Маклорена............................................................... |
99 |
|
6. |
Применение рядов к приближенным вычислениям ............. |
103 |
§3. РЯДЫ ФУРЬЕ .............................................................................. |
105 |
|
1. |
Разложение в ряд Фурье функций с периодом 2 ............. |
105 |
2. |
Ряды Фурье для четных и нечетных функций .................... |
109 |
3. |
Ряд Фурье для функции с периодом 2e ................................ |
110 |
4. |
Разложение в ряд Фурье непериодических функций........... |
112 |
115