Регрессии и корреляции

Разграничение влияний отдельных факторов

Стандартизованные коэффициенты Вi оценивают меру влияния на Y каждого Хi при условии, что все прочие факторы постоянные.

Такая оценка носит искусственный характер, так как в реальности все факторы изменяются одновременно.

Теорема: доля вариации результативного признака вследствие вариации фактора хi (без ограничений на прочие хi) измеряется квадратом его стандартизованного коэффициента, то есть Вi2.

Следует понимать, что влияние всего комплекса факторов нельзя считать равным простой сумме влияний каждого фактора в отдельности – это взаимосвязанные переменные.

Системный эффект

Между факторами всегда есть связь (пусть даже и слабая).

Системный эффект является следствием взаимосвязи факторных переменных между собой. Например, один фактор может усиливать или ослаблять влияние другого фактора, связанного с ним, на общий для них результативный признак.

Если факторы имеют положительную статистическую связь как между собой, так и с результативным признаком, то системный эффект также положительный: усиливается влияние системы факторов на вариацию описываемого в модели показателя. В других случаях системный эффект может оказаться и отрицательной величиной, например, если два фактора имеют прямую связь с результативным признаком, но обратную между собой, то они как бы “мешают” друг другу положительно влиять на результат. Если отрицательный системный эффект возникает в системе управляемых факторов, то он является сигналом об ошибке в организации изучаемого процесса.

Системный эффект (пример)

Пусть исследуем прибыль (Y) в зависимости от кап. вложений (x1) и производительности труда (x2).

При увеличении кап. вложений в зар. плату производительность труда будет расти (политика её стимулирования через зар. плату). Ожидается положительный системный эффект: один фактор усиливает влияние второго на результирующий признак.

Другой пример: исследуем прибыль (Y) в зависимости от кап. вложений (x1) и числа работников (x2).

При увеличении кап. вложений с ориентацией на обновление станочного парка число занятых в производстве будет сокращаться – отрицательный системный эффект: факторы мешают друг другу положительно влиять на результативный признак.

Фактор системности играет заметную роль в прогнозировании: необходимо учитывать знак и тесноту связи между факторами. Например, планируя рост фондовооруженности, необходимо примерно в той же пропорции увеличить энерговооруженность - налицо положительный системный эффект.

Пример. Учебник/ В.Н. Афанасьев, М.М. Юзбашев, Т.И.

Гуляева/под ред. В.Н. Афанасьева.- М.: Ф и С, 2005

Исследовали урожайность зерновых культур (y) по 51 агрофирме (n = 51) Орловской области за 2002 год. Первоначально были отобраны 8 факторных признаков (k = 8) , которые могут влиять на урожайность:

•х1 – размер посевной площади (га);

•х2 – удельный вес зерновых в общей площади (%);

•х3 - затраты на 1 га посевов зерновых (тыс. руб./га);

•х4 - затраты труда на 1 га (чел.-час.);

•х5 - уровень оплаты труда (руб./чел.-час.);

•х6 - энергообеспеченность (л. с./100 га);

•х7 - число комбайнов на 1000 га зерновых (шт.);

•х8 - число трактористов-машинистов на 100 га пашни (чел.). Первоначально получили уравнение регрессии в виде:

µy = 4,81+0,000221 x1 −0,0283 x2 +4,72 x3 −0,0404 x4 + +0,127 x5 +0,00509 x6 −0,188 x7 +8, 43 x8

При проверке на существенность коэффициентов уравнения согласно t-статистике при уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы n – k – 1 = 51 – 8 -1 = 42 выяснилось, что надежно отличными от нуля оказались только коэффициенты при х3

(t = 10.05) и при х8 (t = 2,72). Среди всех прочих коэффициентов максимальную надежность (0,8) показал коэффициент при х5 и был оставлен под вопросом для дальнейших проверок.

После отсева ненадежных факторов уравнение регрессии :

µy =2,26 +4,615 x3 +0,177 x5 +7,199 x8

За счёт увеличения числа степеней свободы надежность фактора х5 (t = 2,26) повысилась до необходимого уровня 0,95.

Построенное уравнение регрессии показывает, что на различие в урожайности сильнее всего и надежно влияют различия между агрофирмами в затратах на 1 га, в уровне оплаты труда и в обеспеченности квалифицированными работниками.

Знаки коэффициентов соответствуют логике производства.

Связи между факторами слабые: мультиколлинеарность не испортит модель.

Коэффициент детерминации R2 = 0,812. Т.о., влияние вариации системы факторов (уравнения регрессии целиком) на вариацию урожайности практически достоверно.

≈ 80% различий в урожайности по агрофирмам возникают в следствие разницы в значениях факторов модели (т.е. в условиях производства), а ≈ 20% - прочими, не учтёнными в модели причинами. Уравнение регрессии в целом надежно, то есть, может быть использовано для содержательных оценок и прогнозирования.

Разграничение влияний отдельных факторов

Для сравнения учтённых в модели факторов х3 (затраты на 1 га посевов), х5 (уровень оплаты труда) и х8 (число трактористов машинистов) по степени их влияния на результативный признак вычисляют стандартизованные коэффициенты регрессии

Βi = bi·σxi /σy: В3 = 0,772; В5 = 0,147; В8 = 0,223.

На вариацию урожайности сильней всего влияет вариация затрат на гектар посева.

•Влияние вариации фактора х3 = В3 2 = 0,5872;

•Влияние вариации фактора х5 = В5 2 = 0,0213;

•Влияние вариации фактора х8 = В8 2 = 0,0490;

•Системный эффект факторов равен: ηs2 = 0,1425;

•Итого объясненная доля вариации у = 0,8000.

•Итого необъясненная доля вариации у = 0,2000

•Всего общая вариация у = 1.

Выводы

•Предлагаемое уравнение регрессии объясняет 80% вариации урожайности зерновых культур в агрофирмах Орловской области вариацией входящих в модель факторов.

•Из этих 80% на долю х3 (затраты на 1 га посевов зерновых) приходится около 60%, на долю х5 (уровень оплаты труда) около 2% и на долю х8 (число трактористов-машинистов) – около 5%.

•Все перечисленные факторы имеют положительную статистическую связь как между собой, так и с результативным признаком, поэтому системный эффект также положительный и он объясняет около 15% вариации урожайности.

•20% вариации урожайности объясняются прочими, не входящими в модель причинами.

Применение многофакторной регрессионной модели для прогнозирования и анализа хозяйственной деятельности предприятий

Простейший приём оценки хозяйственной деятельности предприятия (без построения модели регрессии) состоит в сравнении результата, достигнутого данным предприятием, со средним результатом по однородной совокупности.

Модели с достаточно высокой детерминацией и надежными коэффициентами регрессии можно применять для оценки деятельности предприятий с учетом неравенства условий производства. Речь идет не о полном учете различий в условиях производства (любая модель – упрощение реальности), но если R2 = 80%, то можно учесть четыре пятых различия в среднем.

Анализ деятельности агрофирм в примере

Обе фирмы имеют худшие, чем средние по выборке, значения факторов х3 и х8, поэтому расчетная урожайность закономерно ниже, чем средняя При этом “Орловское” имеет практически ту же расчетную урожайность, что и фактически полученную. Нельзя считать эту фирму “отстающей”.

Напротив, фирма “Нива” имеет фактическую урожайность ниже, чем расчетная по имеющимся факторам (т.е. условиям производства). Это означает, что либо у этой фирмы оказались хуже среднего другие, не входящие в модель факторы, либо степень использования основных факторов х3 и х8 ниже, чем в среднем.

Во всяком случае – это сигнал для менеджмента данной фирмы.