Лекция_5

МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

Специальность 223200 – «Техническая физика»

Лекция 5. Теплопроводность цилиндрической стенки при наличии внутренних источников тепла

Температурное поле в цилиндрической стенке при наличии внутренних источников тепла

Дифференциальное уравнение теплопроводности в цилиндрической системе координат при изменении температуры только от радиуса имеет вид

Значения постоянных интегрирования, а соответственно, зависимость температуры от радиуса будут определяться граничными условиями конкретной задачи.

Теплопроводность однородного цилиндрического стержня при наличии тепловыделений

Рассмотрим круглый цилиндр (рис. 1.21), радиус которого r0 мал по сравнению с длиной цилиндра. При этих условиях температура будет изменяться только вдоль радиуса. Внутренние источники тепла qv равномерно распределены по объему тела, коэффициент теплопроводности равен . Заданы постоянная температура окружающей среды tf и постоянный по всей поверхности коэффициент теплоотдачи . При этих условиях температура на поверхности цилиндра одинаковая. Как и для пластины, задача будет одномерной и симметричной. Температуры на оси цилиндрического стержня t0 и на его поверхности tw неизвестны. Кроме этих температур, необходимо найти распределение температуры в стержне и количество тепла, отданного им в окружающую среду.

O

r

2r0

Рис. 1.21. Однородный стержень с внутренними тепловыделениями

Согласно закону Фурье через изотермическую поверхность радиусом r проходит тепловой поток

l

dr

Тепломассообмен. Конспект лекций

38

МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

Специальность 223200 – «Техническая физика»

Величина этого теплового потока определяется мощностью внутренних источников теплоты qv

Подставив выражение (1.36) в (1.35) и разделив переменные, получим

dt qv rdr . 2

После интегрирования этого равенства найдем

Так как при r r0 t tw , то из выражения (1.37) получим

c tw qv r02 . 4

Подставляя последнее выражение в (1.37) получим

Максимальная температура на оси стержня (при r 0):

t0 tw qvr02 . 4

Теплопроводность цилиндрической стенки с внутренними источниками тепла

Рассмотрим однородную цилиндрическую стенку (трубу) с внутренним диаметром d1 и наружным диаметром d2 (рис. 1.22) с постоянным коэффициентом теплопроводности. Внутренние источники тепла qv равномерно распределены по объему тела. Заданы постоянные температуры сред tf1 и tf2, а также постоянные значения коэффициентов теплоотдачи 1 и 2 на внутренней и наружной поверхностях трубы. Необходимо найти рас-

пределение температуры в цилиндрической стенке, температуры ее поверхностей tw1 и tw2 и тепловой поток через нее.

q

tf2

r1 α2

r2

а) б) в) Рис. 1.22. Теплопроводность цилиндрической стенки с внутренними

источниками тепла

Тепломассообмен. Конспект лекций

39

МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

Специальность 223200 – «Техническая физика»

Будем полагать, что длина трубы велика по сравнению с толщиной стенки. Тогда потерями тепла с торцов трубы можно пренебречь. Дифференциальное уравнение (1.33) и его решение (1.34) будут теми же, изменятся граничные условия и, соответственно, постоянные интегрирования. Граничные условия будут различными для разных случаев отвода тепла.

Случай 1. Теплота отводится только через наружную поверхность (внутренняя поверхность теплоизолирована)

Если тепло отводится только через наружную поверхность (рис. 1.22,а), то граничные условия будут следующими:

Из этих граничных условий определим постоянные интегрирования c1 и c2 в уравнении (1.34) и получим распределение температуры в цилиндрической стенке:

Температура наружной поверхности цилиндрической стенки

Окончательно, с учетом температуры наружной поверхности

Плотность теплового потока на теплоотдающей поверхности найдется как

Температура на внутренней поверхности стенки:

Случай 2. Тепло отводится только через внутреннюю поверхность (внешняя поверхность теплоизолирована)

Если тепло отводится только через внутреннюю поверхность (рис. 1.22,б), то граничные условия запишем следующим образом

dt

при r r2 0;

dr r r2

Тепломассообмен. Конспект лекций

40

МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

Специальность 223200 – «Техническая физика»

Аналогично предыдущему случаю из этих условий определяются соответствующие постоянные интегрирования, и после подстановки их в уравнение (1.34) получаем распределение температуры в цилиндрической стенке при отводе тепла только через внутреннюю поверхность:

Температура внутренней поверхности

Окончательно, с учетом температуры внутренней поверхности

Удельный тепловой поток с единицы теплоотдающей поверхности

Случай 3. Тепло отводится с внутренней и внешней поверхностях

В случае, если тепло отдается окружающей среде как с внутренней, так и с внешней поверхностей, должен существовать максимум температур внутри стенки (рис. 1.22,в). Изотермическая поверхность с r r0 , соответствующая максимальной тем-

пературе t0, разделяет цилиндрическую стенку на два слоя. Во внутреннем слое тепло передается внутрь трубы, во внешнем – наружу.

Максимальное значение температуры соответствует условию dt 0 и, следова- dr

тельно, q 0. Таким образом, для решения данной задачи можно использовать уже полученные выше соотношения (1.39) и (1.40), в которых следует заменить на r0 внутренний и наружный радиусы соответственно:

Запишем максимальные перепады температур во внешнем и внутреннем слоях:

Тепломассообмен. Конспект лекций

41

МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

Специальность 223200 – «Техническая физика»

Вычитая, соответственно, левые и правые части двух последних уравнений, получаем выражение для перепада температур через цилиндрическую стенку, в котором единственной неизвестной величиной останется координата радиуса цилиндра, для которого тепловой поток равен нулю:

Это уравнение необходимо решить относительно r0

Подставив вычисленное из уравнения (1.45) значение r0 в выражение (1.43) или (1.44), найдем максимальную температуру t0 в рассматриваемой стенке. Для определения распределения температуры во внутреннем слое в уравнение (1.42) подставляются значения текущей координаты r1 r r0 , а для нахождения распределения температуры во

внешнем слое в уравнение (1.41) подставляются значения текущей координаты r0 r r2 .

Если температуры внешних поверхностей цилиндрической стенки tw1 и tw2 равны, то уравнение (1.45) упрощается. В этом случае

Тепломассообмен. Конспект лекций

42