Лекция по сопромату
.pdf
Идеализация геометрических размеров основана на представлении о стержне как вытянутом теле, у которого длина значительно больше других размеров. Отношение малых размеров к длине укладывается на отрезке 1/20–1/5. Эти границы приняты приблизительно, исходя из опыта расчётов. Если отношение размеров меньше 1/20, то тело рассматривается в виде длинной нити (трос), работающей только на растяжение. Если отношение размеров больше 1/5, то тело называется массивом (например, плотина). Расчёт массивов сложнее расчёта стержней и в задачу сопротивления материалов не входит.
Схема стержня с обозначениями новых геометрических понятий показана на рис. 1.1. Продольная ось стержня проходит через центры тяжести поперечных сечений и является координатной осью х. Продольная ось перпендикулярна плоскости поперечного сечения.
Тело, представленное на рис. 1.1, иногда называется брусом, однако чаще применяется исходное название – стержень.
Продольная линия
Поперечное сечение
x
Рис. 1.1. Схемастержня
Наиболее сложной является идеализация свойств материала. Очевидно, что в расчёте невозможно учесть наличие пор и трещин, т. к. их распределение в материале неизвестно и таких распределений бесчисленное множество. В связи с этим материал наделяется свойством сплошности. Слово «сплошность» относится к категории научного сленга, т. к. в орфографическом
11
словаре русского языка этого слова нет. Тем не менее термин «сплошность» применяется в научной литературе и правильно отражает суть рассматриваемого свойства материала.
Конструкция является прочной, если обеспечена прочность в любой точке объёма. Но произвести расчёт прочности для всех точек объёма тела невозможно, поэтому необходимо ограничиться в общем случае несколькими особыми точками. Тогда материал должен обладать однородностью – свойства материала во всех точках объёма одинаковы. Кроме того, свойства материала в точке по всем направлениям должны быть одинаковыми, потому что невозможно учесть в расчёте бесчисленное множество разных направлений. Такое свойство материала на-
зывается изотропностью.
Свойства сплошности, однородности и изотропности позволяют сделать следующее заключение: если прочность обеспечена в особых точках, то вся конструкция является прочной. Поэтому определение положения особых точек и величин, характеризующих прочность в этих точках, является одной из основных задач сопротивления материалов.
1.2. Внутренние силы и внутренние усилия
Для введения величины, характеризующей прочность, рассматриваются силы взаимодействия отдельных точек материала друг с другом. Эти силы называются внутренними силами. Они показаны на рис. 1.2.
Чтобы выявить внутренние силы, применяется метод сечений, рассмотренный в курсе теоретической механики. На рис. 1.2 показана одна часть рассечённого стержня. Другая часть отброшена, и её действие на оставшуюся часть заменяется внутренними силами Si. В сечении действует бесчисленное множество внутренних сил, которые по теореме теоретической механики приводятся к главному вектору и главному вектору-моменту.
12
Главный вектор и главный вектор-момент в свою очередь заменяются шестью величинами: тремя проекциями главного вектора N, Qy, Qz и тремя проекциями главного вектора-момента Mx, My, Mz (рис. 1.3).
|
Fi |
|
|
Si |
|
Внешние |
|
|
силы |
||
x |
Поперечное сечение |
||
|
|
||
Рис. 1.2. Системавнутренних сил Si в поперечном сечении |
|||
|
у |
|
|
|
M y |
|
|
|
Qy |
|
|
N |
Qz |
z |
|
x |
|||
M x |
M z |
||
|
|||
Рис. 1.3. Внутренние усилияв поперечном сечении
Проекции, показанные на рис. 1.3, называются внутренними усилиями. В учебниках встречается название – внутренние силовые факторы, однако это название слишком формализовано и не отражает физического смысла данных усилий. Каж-
13
дое внутреннее усилие имеет своё название. Проекции главного вектора названы в соответствии с их направлением.
N – продольная сила (она действует вдоль оси стержня). Qy – поперечная сила, параллельная оси y.
Qz – поперечная сила, параллельная оси z.
Внутренние усилия Qy, Qz названы поперечными силами, потому что они действуют в плоскости поперечного сечения.
Проекции главного вектора-момента названы в соответствии с тем видом деформации, который они вызывают.
Mx – крутящий момент (этот момент закручивает стержень относительно продольной оси x).
My – изгибающий момент относительно оси y (этот момент изгибает стержень в плоскости xz).
Mz – изгибающий момент относительно оси z (этот момент изгибает стержень в плоскости xy).
Замена бесконечно большого числа внутренних сил шестью внутренними усилиями – это важный шаг, упрощающий математическую модель конструкции. При известных внешних силах шесть внутренних усилий определяются из шести уравнений статики. Можно ли по величине внутренних усилий оценивать прочность конструкции? Напрашивается отрицательный ответ хотя бы потому, что вариантов внешней нагрузки для одной конструкции достаточно много. Поэтому для оценки прочности материала используется другая величина – напряжения.
1.3. Напряжения
Для характеристики состояния материала в точке вводится понятие напряжения. Действие внутренней силы в точке заменяется средним напряжением.
pср = S / A, |
(1.1) |
где S – внутренняя сила, действующая на малой площадке сечения; A – площадь малой площадки.
14
Так как материал наделён свойством сплошности, размер площадки можно уменьшать до бесконечно малой величины. Тогда среднее напряжение становится полным напряжением в точке (p). Математически это записывается с помощью знака предела:
p = lim S / A. |
(1.2) |
A→0 |
|
Математическая модель стержня привязана к ортогональной системе координат, поэтому вектор полного напряжения проецируется на оси координат (рис. 1.4).
Каждая из проекций имеет своё название.
σ – нормальное напряжение (направлено по оси x, т. е. это напряжение нормально к плоскости поперечного сечения).
τy – касательное напряжение, параллельноеоси у. τz – касательное напряжение, параллельноеоси z.
Касательные напряжения действуют в плоскости поперечного сечения.
у
τy 
τz
z
σ
х
Рис. 1.4. Нормальноеикасательныенапряженияв точкепоперечногосечения
Вопросы для самопроверки
1.Как производится идеализация реальной конструкции?
2.Чем отличаются внутренние силы и внутренние усилия?
3.Какой фактор влияния на прочность конструкции характеризуют напряжения?
15
ЛЕКЦИЯ2. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ
2.1.Зависимость между внутренними усилиями
инапряжениями
В первой лекции было отмечено, что внутренние усилия получаются в результате приведения внутренних сил к главному вектору и к главному вектору-моменту. Но это приведение осуществляется только на теоретическом уровне без математических действий. Если использовать нормальные и касательные напряжения, то через них можно выразить проекции внутренних сил, т. е. внутренние усилия, в точной математической форме.
Например, очевидно, что продольная сила выражается через нормальные напряжения. На бесконечно малой площадке с площадью dA действует нормальное напряжение σ . Тогда бесконечно малая продольная сила dN в соответствии с формулой (1.2) равна dN = σdA. Если бесконечно малые силы, действую-
щие в точках поперечного сечения, просуммировать, то получится продольная сила. Суммирование бесконечно большого числа слагаемых выражается определённым интегралом, в данном случае интегралом по площади поперечного сечения.
N = ∫σdA . |
(2.1) |
A |
|
Аналогично выражаются поперечные силы через соответствующие касательные напряжения.
Qy |
= ∫τydA . |
(2.2) |
|
A |
|
Qz |
= ∫τz dA . |
(2.3) |
|
A |
|
При определении моментов бесконечно малые внутренние усилия умножаются на плечи, которые равны соответствующим
16
координатам точки (рис. 2.1). Сила σdA имеет плечо у относительно оси z. Тогда момент от этой силы равен dM z = yσdA .
Момент от сил, действующих по всему сечению, выражается через интеграл.
|
M z = ∫σydA . |
(2.4) |
|
|
|
A |
|
|
y |
τy dA |
|
|
|
|
|
|
z |
|
τz dA |
σdA |
|
|
|
|
y |
dA |
z |
x
Рис. 2.1. Бесконечномалыевнутренние усилияв точке
Аналогично определяется моментотносительно оси у.
M y = ∫σz dA . |
(2.5) |
A |
|
Крутящий момент определяется от бесконечно малых поперечных сил, соответствующих касательным напряжениям.
M x = ∫(τy z −τz y)dA . |
(2.6) |
A |
|
Полученные интегральные выражения объединяют четыре фактора, влияющие на прочность конструкции. Внутренние усилия зависят от внешней нагрузки, закрепления конструкции (опор) и длины стержня. Эта зависимость выражается уравне-
17
ниями равновесия, которые составляются по методу сечений. Графическая совокупность внешней нагрузки, опор и длины стержня называется расчётной схемой конструкции. Влияние на прочность размеров и формы поперечного сечения учитывается интегралом по площади поперечного сечения. С помощью напряжений учитываются свойства материала.
Полученные результаты отображает схема, представленная на рис. 2.2.
Реальная конструкция
Нагрузка |
Закрепление |
Геом. размеры |
Материал |
Идеализация Идеализация Идеализация Идеализация
Математическая задача
Схемы |
|
|
|
|
|
Схемы |
|
Длина |
|
нагрузок |
|
опор |
|
стержня |
|
|
|
|
|
Расчётная схема конструкции
Внутренние усилия
Размеры поперечного сечения
Напряжения
Интегральные выражения
Рис. 2.2. Схемаидеализацииреальнойконструкции
Схема соответствует идее Р. Декарта о том, что любую реальную задачу можно свести к математической задаче, записан-
18
ной с помощью дифференциальных или интегральных уравнений (первый пункт схемы Декарта).
Схема на рис. 2.2 показывает, что на интегральных выражениях (2.1) – (2.6) замыкаются три темы: расчётная схема конструкции и внутренние усилия, геометрические характеристики поперечного сечения, напряжения как характеристика свойств материала. Разбор этих тем целесообразно начать с геометрических характеристик как темы, общей для всего курса сопротивления материалов.
2.2. Геометрические характеристики плоских сечений
В качестве геометрических характеристик рассматриваются следующие интегральные зависимости:
A = ∫dA , |
(2.7) |
|
|
A |
|
где А – площадь поперечного сечения; |
|
|
S z |
= ∫y dA , |
(2.8) |
|
A |
|
где Sz – статический момент относительно оси z; |
|
|
S y |
= ∫z dA , |
(2.9) |
|
A |
|
где Sy – статический момент относительно оси у; |
|
|
J z |
= ∫ y 2dA , |
(2.10) |
|
A |
|
где Jz – момент инерции относительно оси z; |
|
|
J y |
= ∫ z 2 dA , |
(2.11) |
A
где Jy – момент инерции относительно оси у;
19
J z y = ∫z y dA , |
(2.12) |
A |
|
где Jzy – центробежный момент инерции относительно осей z, y. Моменты Jz, Jy для краткости изложения называют осевы-
ми моментами.
В названиях геометрических характеристик используется слово «момент», которое будет применяться ещё и для других понятий. Может показаться, что этот термин в сопротивлении материалов употребляется неоправданно часто. Однако логика в использовании слова «момент» для определения геометрических характеристик есть, и заключается она в следующем: если площадь dA условно принять за силу, то координата точки является плечом относительно соответствующей оси, а произведение «силы на плечо» ydA или zdA – это момент (статический момент). Такая же механическая аналогия используется и для моментов инерции. Если принять статический момент за силу, то произведение y(ydA) или z(ydA) – это сновамомент(моментинерции).
Ось х проходит через центр тяжести поперечного сечения, следовательно, оси z, y также должны быть центральными. В связи с этим формулируется общее правило для геометриче-
ских характеристик: в расчётах на прочность используются
геометрические характеристики относительно центральных осей. Вычисление геометрических характеристик начинается с определения координат центра тяжести поперечного сечения.
2.3. Зависимость между статическими моментами относительно параллельных осей координат
Зависимость между статическими моментами относительно параллельных осей используется для получения формул, по которым вычисляются координаты центра тяжести. Для установления зависимости рассматривается плоская фигура, представленная на рис. 2.3.
20