Puteeva_L_E_

Задача № 1

Ступенчатая колонна квадратного поперечного сечения выполнена из бетона с модулем упругости E 2 104 МПа и загружена сосредоточенными силами F1 , F2 , F3 .

Требуется:

–построить эпюру продольных сил N;

–определить размеры поперечного сечения колонны, учитывая, что материал, из которого она изготовлена, неодинаково работает на растяжение и сжатие.

–построить эпюры напряжений и продольных перемещений u.

Решение задачи

Построение эпюры продольных сил (рис. 1.5). Опорную реакцию VB находим из уравнения равновесия:

х VB F1 F2 F3 0;

VB F1 F2 F3 280 420 300 440кН.

Колонна имеет четыре участка: BC,CD, HD, KH.

На каждом проводим одно сечение и вычерчиваем отсеченные части.

11

Из условия прочности находим площади сечений:

12

13

Построение эпюры продольных перемещений (рис. 1.5). Определяем продольные перемещения сечений, расположенных на границах участков:

uB 0 (опорное сечение);

uC uB 1 0 0,35 0,35мм;

uD uC 2 0,35 ( 0,11) 0,46мм; uH uD 3 0,46 ( 0,18) 0,64мм; uK uH 4 0,64 0,21 0,43мм.

Рис. 1.5

14

1.3.Расчет статически неопределимых систем при центральном растяжении-сжатии

Взадаче № 2 рассматриваются статически неопределимые системы (рис. 1.6). Их отличие от статически определимых заключается в том, что количество неизвестных (опорных реакций, внутренних усилий), превышает количество уравнений равновесия, которые можно записать для таких систем.

F

F

F

Рис. 1.6

В общем случае для произвольной плоской системы сил, не сходящихся в одной точке, можно составить только три урав-

Число неизвестных в задаче № 2 (рис. 1.7, а) равно четырем – два усилия в стержнях и две составляющие опорной реакции. Следовательно, рассматриваемая система является один раз статически неопределимой. Для ее решения кроме уравнений статики необходимо составить одно дополнительное уравнение. Это уравнение называется – уравнение совместности деформаций и перемещений. Для составления уравнения необходимо вычертить деформированную схему конструкции (рис. 1.7, б). Под действием приложенной силы F, абсолютно жесткий брус, оставаясь прямым, поворачивается вокруг шарнирно неподвижной опоры, чем вызывает деформацию растяжения или сжатия прикреплённых к нему стержней.

15

Согласно гипотезе о «малости деформаций» можно считать, что первоначальные углы между брусом и стержнями не изменяются. Следовательно, перемещения точек прикрепления стержней к брусу происходят не по окружности, а по касательной к ней (т. е. перпендикулярно радиусу). Для упрощения изображения деформированной схемы сооружения удобнее сначала показывать удлинения (укорочения) стержней, а лишь затем производить их поворот (рис. 1.7, б).

По изображенной на чертеже картине перемещений устанавливаются абсолютные деформации стержней . Для этого необходимо из переместившейся точки опустить перпендикуляр на начальную ось стержня. Далее устанавливается связь между абсолютными деформациями стержней из подобия треугольников, имеющих общую вершину (шарнир неподвижной опоры). Выражая абсолютные деформации стержней через усилия N по закону Гука при центральном растяжении (сжатии)

N , получают дополнительное уравнение для определения

EA

усилий в стержнях системы.

При составлении уравнений равновесия х 0; у 0;

mi 0 необходимо, чтобы направления усилий соответство-

16

вали истинным деформациям стержней. В случае, если стержень удлиняется, усилие в нем должно быть растягивающим, то есть продольная сила направляется от сечения, и наоборот.

Для определения расчетной допускаемой нагрузки Fдоп

необходимо вычислить напряжения в каждом стержне по фор-

муле i Ni (где i – номер стержня). Затем большее из полу-

Ai

ченных напряжений следует приравнять расчетному сопротивлению max R и из этого условия определить величину Fдоп .

Нагрузка, при которой несущая способность конструкции будет полностью исчерпана, называется предельной нагрузкой Fпред (рис. 1.8, а). Величина предельной нагрузки определяется

из условия достижения напряжениями в стержнях предела текучести N1, пред Т A1 , N2,пред Т A2 . Затем для отсеченной части конструкции (рис. 1.8, б) составляется уравнение статического равновесия, из решения которого находится значение предельной нагрузки Fпред .

а

б

Fпред

Fпред

N2, пред

Рис. 1.8

17

Задача № 2

Абсолютно жесткий брус опирается на шарнирнонеподвижную опору и прикреплен к двум стальным стержням. Требуется:

–найти усилия и напряжения в стержнях, выразив их через силу F;

–найти расчетную допускаемую нагрузку Fдоп , приравняв большееизнапряжений в стержняхрасчетномусопротивлению R;

–найти предельную нагрузку Fпред при заданной величине

Решение задачи

Составляем уравнения равновесия m(B) 0.

N2

B HB

VB

N1

F

c c a

N1 sin (с a) N2a F(2c a) 0.

Находим по чертежу для угла

18

Для записи еще одного уравнения запишем условие совместности деформаций и перемещений.

c a

Деформации стержней найдем по закону Гука:

19

Находим напряжения в стержнях:

Допускаемую нагрузку найдем, приравняв большее из полученных напряжений расчетному сопротивлению:

max 2 0,562Fдоп R;

A

Fдоп R A 210 106 11 10 4 410,7 103Н 410,7кН. 0,562 0,562

Вычисляем предельную нагрузку, если предел текучестиТ 240 МПа. В предельном состоянии запишем уравнение

равновесия m(B) 0.

N2,пред Т A2

B HB

VB

240 106 11 10 4 2 3,0 0,939(1,1 3,0) 500,05кН. 2 1,1 3,0

20