3.1.3. Третий закон Ньютона

Третий закон Ньютона имеет следующую формулировку:

Взаимодействующие тела действуют друг на друга с одинаковыми по величине, но противоположными по направлению силами:

, (3.6)

где - сила, с которой тело 2 действует на тело 1,- сила, с которой тело 1 действует на тело 2. Силыиприложены к разным телам и поэтому не уравновешивают друг друга.

Из третьего закона Ньютона следует, что всякое действие одного тела на другое имеет характер взаимодействия. Третий закон Ньютона выполняется при непосредственном соприкосновении взаимодействующих тел и для взаимодействия центральными силами неподвижных тел. Из принципа суперпозиции сил (3.1) следует, что закон (3.6) справедлив при взаимодействии тела одновременно с несколькими телами.

Если тела движутся относительно друг друга, то расстояние между ними меняется. Для того, чтобы в соответствии с третьим законом Ньютона, силы взаимодействия были равны друг другу в любой момент времени, необходимо предположить, что скорость передачи взаимодействия бесконечно большая. Однако, согласно теории относительности скорость передачи любого взаимодействия не может превышать скорость света в вакууме. Таким образом, закон справедлив для движущихся тел тем точнее, чем меньше их относительная скорость скорости света в вакууме.

В заключение необходимо отметить, что третий закон Ньютона не применим к нецентральным силам и взаимодействиям микрочастиц.

3.1.4. Динамические характеристики материальной точки и твердого тела, движущегося поступательно

Рис. 3.2

Покажем, что совместное применение второго и третьего законов Ньютона позволяет описать динамику поступательного движения системы материальных точек (твердого тела).

Будем понимать под механической системой совокупность тел, движение которых будем описывать.

Условимся называть тела (или частицы), не входящие в состав рассматриваемой системы, внешними телами, а силы, с которыми они действуют на тела системы - внешними силами.

Силы взаимодействия между телами системы назовем внутренними.

Рассмотрим систему из трех материальных точек (рис. 3.2.). Составим уравнение второго закона Ньютона в форме (3.3) для каждого тела системы:

(3.7)

г

де обозначено -внутренние силы, а - внешние силы.

В уравнениях (3.7) в соответствии с третьим законом Ньютона между внутренними силами имеется связь:

. (3.8)

Сложим почленно уравнения (3.7) и учтем равенства (3.8), тогда получим

^. (3.9)

Введем вектор - импульс системы материальных точек:

. (3.10)

Из (3.10) следует, что импульсом системы материальных точек называется векторная сумма импульсов материальных точек, входящих в систему.

Правую часть выражения (3.9) в соответствии с принципом суперпозиции сил (3.1) заменим равнодействующей внешней силой , действующей на систему:

. (3.11)

С учетом равенств (3.10) и (3.11) уравнение (3.9) запишем в виде

^. (3.12)

Рис. 3.3

Уравнение (3.12) формально совпадает со вторым законом Ньютона, записанным для уединенного тела (материальной точки) (3.2). Таким образом, (3.12) является обобщением второго закона Ньютона для системы из трех частиц. Проведенный выше вывод уравнения (3.12) для системы из трех частиц легко обобщается на систему из n частиц. В этом случае в уравнении (3.12) величины иравны:

^. (3.13)

Уравнение (3.12) с учетом (3.13) представляет собой основное уравнение динамики поступательного движения системы n материальных точек (твердого тела).

Покажем, что поступательное движение системы материальных точек (твердого тела) как целого можно отождествить с движением одной точки, называемой центром масс.

Центром масс (центром инерции) системы материальных точек (тела) называется точка С (рис. 3.3), радиус-вектор которой определяется выражением:

или

, (3.14)

где и- масса и радиус-векторi-ой материальной точки, n - число материальных точек в системе, а , - масса всей системы.

Продифференцировав (3.14) по времени, получим:

^,

откуда с учетом (2.6) находим скорость центра масс:

^. (3.15)

Из (3.2) и (3.13) следует, что выражение (3.15) можно записать в виде

^, (3.16)

где - импульс системы материальных точек.

Считая массы частиц системы неизменными, продифференцируем (3.16) по времени и перепишем его с учетом (3.12) в виде

^. (3.17)

Таким образом, из (3.16) и (3.17) следует:

1. центр масс системы частиц движется как частица с массой, равной массе системы, под действием равнодействующей приложенных к ней внешних сил;

2. скорость центра масс определяется полным импульсом системы;

3. движение центра масс можно отождествить с движением системы как целого.