3.3.6. Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

Согласно выражению (3.74) кинетическая энергия твердого тела, представляемого в виде системы материальных точек, равна сумме кинетических энергий отдельных точек, то есть

Если твердое тело вращается вокруг неподвижной оси Z с угловой скоростью , то

, (3.87)

где - расстояние от-ой точки до оси вращения.

Тогда кинетическая энергия вращающегося тела будет равна

(3.88)

где - момент инерции тела относительно оси вращения.

Рис. 3.18

Необходимо отметить, что если твердое тело совершает сложное плоское движение (все его точки движутся в параллельных друг другу плоскостях), то это движение можно представить в виде наложения двух движений: поступательного со скоростью, равной скорости центра масс тела, и вращения с угловой скоростьювокруг оси, проходящей через центр масс. Примером может служить однородный круговой цилиндр, который катится по горизонтальной плоскости без проскальзывания (рис. 3.18). Из условия отсутствия проскальзывания следует, что. Поэтому кинетическая энергия катящегося цилиндра равна

, (3.89)

где - момент инерции цилиндра относительно оси, проходящей через центр массС.

3.3.7. Работа внешних сил при вращении тела вокруг неподвижной оси

Если момент внешних сил относительно неподвижной оси вращения твердого тела не равен нулю, то угловая скорость и кинетическая энергия тела изменяются. Из закона изменения кинетической энергии механической системы следует, что изменение кинетической энергиитвердого тела за малый промежуток времени равно

,

где - элементарная работа, совершаемая за времявнешними силами, приложенными к телу.

С учетом выражения (3.88) запишем:

или учитывая, что , а,

, (3.90)

где - угол поворота тела за время.

Работа - величина алгебраическая: если составляющая момента внешних сил на ось z и векторнаправлены одинаково, то работа положительна, то есть; если в противоположные стороны, то.

Работа вешних сил при повороте твердого тела на конечный угол найдем интегрированием повыражения (3.90):

^. (3.91)

В случае, если момент внешних сил постоянен, то есть последнее выражение упрощается:

. (3.92)

3.4. Законы сохранения

3.4.1. Роль законов сохранения

Любое тело можно представить, как уже отмечалось ранее, в виде системы материальных точек. Состояние такой системы характеризуется одновременным заданием координат и скоростей всех ее точек. Если система с течением времени деформируется, движется в пространстве и т.д., то изменяется ее состояние.

В том случае, если известны законы изменения сил, действующих на точки системы, и начальное состояние системы, можно с помощью уравнений движения найти состояние системы в любой момент времени.

Для этого составляются уравнения движения каждой точки (частицы, элемента) системы, учитываются всевозможные связи между этими точками, и вся система полученных уравнений решается совместно. Так, например, решается задача о движении планет Солнечной системы.

Однако часто бывает трудно, а порой невозможно, анализировать поведение системы с помощью уравнений движений, когда сама система сложна. Если к тому же законы действующих сил неизвестны, то такой подход оказывается в принципе неосуществим.

Реальным выходом из этой ситуации служит применение так называемых законов сохранения.

Как уже было сказано, при движения системы ее состояние изменяется со временем. Существуют однако, такие величины, которые обладают замечательным свойством сохранения во времени. Среди них наиболее важную роль играют энергия, импульс и момент импульса.

Законы сохранения энергии, импульса и момента импульса относятся к числу тех наиболее фундаментальных законов физики, значение которых трудно переоценить. Роль этих законов особенно возросла после того как выяснилось, что они далеко выходят за рамки механики и представляют собой универсальные законы природы.

Важнейшая роль законов сохранения как инструмента исследования обусловлена рядом причин. Во-первых, эти законы не зависят ни от траекторий движения тел, ни от характера действующих сил. Поэтому они позволяют получить ряд весьма общих и существенных заключений о свойствах различных механических процессов, не вникая в их детальное рассмотрение с помощью уравнений движения. Во-вторых, тот факт, что законы сохранения не зависят от характера действующих сил, позволяет использовать их даже в тех случаях, когда силы вообще неизвестны.

Необходимо отметить, что законы сохранения выполняются только в случае взаимного уравновешивания всех внешних сил или моментов внешних сил, действующих на рассматриваемую механическую систему, или в замкнутых системах, то есть в системах, на которые внешние силы вообще не действуют. Строго говоря, каждая реальная система всегда незамкнута. Однако если внутренние силы в системе во много раз превосходят внешние, то такую систему приближенно можно считать замкнутой. Например, наша Солнечная система находится на таких гигантских расстояниях до ближайших звезд, что их тяготение не играет практически никакой роли в движении планет. Оно определяется взаимодействием планет с Солнцем и, в значительно меньшей степени, друг с другом. Поэтому с большой степенью точности можно считать Солнечную систему замкнутой.