3.4.2. Закон сохранения механической энергии

Из закона изменения механической энергии, описанного в 3.3.5., следует, что в случае, если на механическую систему действуют только консервативные силы (внешние и внутренние), а неконсервативные равны нулю, то механическая энергия такой системы не изменяется, то есть

(3.93)

и

. (3.94)

Такая система называется консервативной.

В выражении (3.94) под потенциальной энергией понимают сумму энергий взаимодействия между материальными точками системы (внутренняя потенциальная энергия) и взаимодействия системы с внешними телами (внешняя потенциальная энергия).

Выражение (3.94) представляет собой математическую запись закона сохранения механической энергии:

полная механическая энергия консервативной системы не изменяется.

В частности этот закон справедлив для замкнутых консервативных систем:

если в замкнутой системе диссипативные силы отсутствуют, то ее механическая энергия сохраняется.

В этом случае в выражении (3.94) под потенциальной энергией понимают только энергию взаимодействия между материальными точками системы (внутреннюю потенциальную энергию).

Следует заметить, в замкнутой консервативной системе сохраняется именно полная механическая энергия, кинетическая же и потенциальная в общем случае изменяются. Однако эти изменения происходят всегда так, что приращение одной из них в точности равно убыли другой, то есть

. (3.95)

3.4.3. Закон сохранения импульса

Из закона изменения импульса механической системы, описанного в 3.1.4., следует, что при выражение (3.12) принимает вид

(3.96)

и

. (3.97)

Последнее выражение представляет собой математическую запись закона сохранения импульса:

если результирующий вектор всех внешних сил, действующих на систему, тождественно равен нулю, то импульс этой системы не изменяется с течением времени.

Имеет место также закон сохранения составляющей импульса:

если составляющая результирующего вектора внешних сил на какую-либо ось, неподвижную относительно инерциальной системы отсчета, тождественно равна нулю, то составляющая на эту же ось вектора импульса системы не зависит от времени,

то есть если, например , то

и . (3.98)

Закон сохранения импульса справедлив, в частности, для замкнутых систем, у которых условие выполняется по причине отсутствия внешних сил:

импульс замкнутой системы не изменяется с течением времени.

Для замкнутых систем, как следует из выражения (3.97), центр масс движется равномерно и прямолинейно или покоится, то есть центр масс является и центром инерции. Кроме того, в (3.97) коэффициент пропорциональности между импульсом системы и скоростью центра инерции по смыслу представляет собой массу системы.

Таким образом, из закона сохранения импульса следует закон аддитивности массы:

масса системы равна сумме масс составляющих ее частиц.

3.4.4. Закон сохранения момента импульса

Из закона изменения момента импульса, описанного в 3.2.2., следует, что при выражение (3.44) принимает вид

(3.99)

и

. (3.100)

Выражение (3.100) представляет собой математическую запись закона сохранения момента импульса:

если результирующий момент относительно неподвижной точки всех внешних сил, действующих на систему, тождественно равен нулю, то момент импульса этой системы относительно той же точки не изменяется с течением времени.

При равенстве нулю только составляющей результирующего момента внешних сил на какую-либо неподвижную ось имеет место закон сохранения составляющей момента импульса системы на эту ось:

если составляющая момента внешних сил на неподвижную ось вращения тела равна нулю, то составляющая момента импульса тела на эту ось не изменяется в процессе движения,

то есть, если , то

и (3.101)

или на основании соотношения (3.30)

, (3.102)

где - угловая скорость вращения тела,- его момент инерции относительно оси вращения.

Закон сохранения момента импульса справедлив, в частности, для замкнутых систем, у которых условия иливыполняются из-за отсутствия внешних сил.

Для вращательного движения вокруг неподвижной оси этот закон формулируется так:

момент импульса замкнутой системы относительно любой неподвижной оси не изменяется с течением времени.