3. Две генеральные совокупности. Одна случайная величина.

Сравним уровни загрязнения БП жилых кварталов Первомайского района и п. Октябрьский.

Таблица 19

Числовые характеристики	Первомайский р -он	п. Октябрьский
	1,38	2,06
	1,743	0,889

Проверим сначала гипотезу о равенстве дисперсий

1-й шаг. Формирование основной и альтернативной гипотез

Н₀: ₁² =  ²₂, Н₁:  ²₁≠ ²₂,

2-й шаг. Задание уровня значимости α = 0,05. 3-й шаг. Выбор критической статистики (6) таблица 15.

ψ_кр =F=.

4-й шаг. Определение критических границ. Соответственно верхняя и нижняя критические точки равны по таблице F – распределения Фишера (приложение 2 табл. 6):

ψ_{кр в} === 4.568,ψ_крн= 1/ ψ_крв= 0.219

5-й шаг. Расчетное значение критической статистики при неизвестных математических ожиданиях определяется из выражения

ψ_расч = = 1.96,

Заметим, критерий чувствителен к отклонению от нормальности.

Условие

ψ_крн < ψ_расч < ψ_крв, 0,219 < 1.96 < 4.568

выполняется, гипотеза Н₀ верна с ошибкой первого рода. В связи с этим для проверки гипотезы о равенстве средних используем критерий (4) таблицы 15.

1-й шаг. Формирование основной и альтернативной гипотез

Н₀: ₁ =₂, Н₁: ₁ ≠ ₂.

2-й шаг. Задание уровня значимости α=0,05. 3-й шаг. Выбор критической статистики (4) таблица 15.

4-й шаг. Верхняя и нижняя точки критерия находятся из выражений по таблицам распределение t -Стьюдента

ψ_крв = t _α/2*100% (16 + 8 - 2) = 2,07, ψ_крн = - ψ_крв = -2,07.

5-й шаг. Определение расчетного значения критической статистики

S₀² = =1,349,

ψ_кр = t = =-1,35.

Условие

ψ_крн < ψ_расч < ψ_крв, -2,07 < -1.35< 2,07

выполняется, гипотеза Н₀ верна с ошибкой первого рода. Уровни загрязнения рассматриваемых районов одинаковы. Гипотеза могла быть отвергнута при α = 0,2.

Проверим гипотезу об однородности двух рассматриваемых выборок по критерию Уилкоксона–Манна–Уитни. Рассмотрим случай А, т.к. n ≤ 25 для обеих выборок.

Рассмотрим последовательность критерия. 1-й шаг. Формирование основной и альтернативной гипотез

Н₀: F₁(X) = F₂(X) , Н₁: F₁(X) ≠ F₂(X) .

где F₁(X) и F₂(X)– неизвестные непрерывные функции распределения случайной величины X. 2-й шаг. Задание уровня значимости α =0,05.

Случай А. Пусть имеется две выборки независимых непрерывных случайных величин

(n ≤ 25 для обеих выборок) x_1i, i =1,n₁, х_2j, j =1,n_2, где n₁  25, n₂  25.

3-й шаг. Формирование критической статистики. Статистика критерия имеет вид

ψ_кр =W =,

где– ранги элементов выборки меньшего объема (n₁ < n₂). Суммирование рангов R_i осуществляется по элементам меньшей выборки.

1. Проанализируем объемы выборок n₁ и n₂, сравним их между собой. Меньшую выборку (п.Октябрьский) будем считать первой. Пусть n₁ =8 – ее объем. 2. Из двух выборок составляем общий вариационный ряд с обозначением рангов вариант. Если в обеих выборках есть одинаковые варианты, будем использовать средние ранги (таблица 20).

4-й шаг. По статистическим таблицам критических точек распределения Вилкоксона (таблица 7 прил. 2) для уровня значимости α найти нижнюю критическую точку

ψ_{кр н} = _/2 (n₁, n₂)= _/2 (8, 16)_рн =67 ,

где _/2 (n₁, n₂) – квантиль распределения Вилкоксона.

Верхняя критическая точка находится из выражения

ψ_{кр в} = (n₁ + n₂ +1) n₁ - ψ_{кр н} = (8 + 16 +1) 8 - 67 = 133.

5-й шаг. Вычислить расчетное значение критической статистики

ψ_расч ==8+11,5+13+14+15+17+20+23=121,5,

суммированием рангов вариант первой выборки в общем вариационном ряду.

Таблица 20

N выборки	Фактическая плотность загрязнения, г/км2	Ранг
2	0,1	1
2	0,25	2
2	0,29	3
2	0,3	4
2	0,42	5
2	0,48	6
2	0,53	7
1	0,65	8
2	0,75	9
2	0,77	10
1	1,42	11,5
2	1,42	11,5
1	1,9	13
1	1,92	14
1	1,95	15
2	1,97	16
1	2,12	17
2	2,15	18
2	2,33	19
1	2,54	20
2	2,7	21
2	2,8	22
1	3,94	23
2	4,85	24

Условие

ψ_крн < ψ_расч < ψ_крв, 67 < 121,5< 133

выполняется, гипотеза Н₀ верна с ошибкой первого рода.