Выводы.

В результате проведенных исследований установлено: число дней нетрудоспособности (тяжесть несчастных случаев на производстве) имеет нормальное распределение, преобразование переменной вида позволяет повысить критический уровень отказа от гипотезы о нормальности.

Задание к самостоятельной работе.

1. Используя критерии согласия χ² Пирсона и Колмогорова проверить гипотезу о согласии полученной в соответствии с вариантом ( практ. работа 1) эмпирической функции распределения и модельной. В качестве модели использовать нормальный закон распределения. При необходимости использовать подходящее преобразование случайной величины Х вида : Y = log X, Y =,Y = X² и т.д.

2. Сделать выводы в контексте решаемой задачи.

Практическая работа n 3. Предварительный анализ данных. Проверка гипотез о равенстве числовых характеристик случайных величин

Цель: Приобрести навыки выбора адекватного в смысле начальных условий критерия проверки гипотез о числовых характеристиках эмпирического распределения; научится проверять, используя пять шагов логической схемы, гипотезы о числовых характеристиках с помощью критериев нормальной и непараметрической теорий.

Содержание работы.

В таблице 15 представлены виды задач и критические статистики для проверки гипотез о числовых характеристиках эмпирических распределений.

I . Рассмотрим задачу.

ОАО "НЭЗ" в качестве сырья для производства графитированной продукции использует нефтяной кокс и каменноугольный пек, содержащий, по данным Института прикладной геофизики (ИПГ), бенз(а)пирена (БП) в количестве 0,54 г/кг. Точная оценка на основе соотношений материального баланса количества БП, выбрасываемого в атмосферу ОАО "НЭЗ'', затруднена ввиду наличия химических трансформаций БП в технологическом цикле и в процессе движения отходящих газов от печей до устьев труб, а также из-за недостаточной количественной изученности выделения БП в цехах пекоподготовки.

В этой связи прямая экспериментальная оценка суммарного выброса БП источниками ОАО "НЭЗ" представляет большой практический интерес для планирования природоохранных мероприятий.

Указанные выше обстоятельства явились основанием выполнения Институтом прикладной геофизики работы по оценке загрязнения атмосферного воздуха в Новочеркасске в результате выбросов Новочеркасского электродного завода .

Выполненная работа включала следующие основные разделы:

• изучение загрязнения БП снежного покрова на территории вокруг ОАО "НЭЗ" и в районе г. Новочеркасска;

оценка уровней загрязнения БП атмосферного воздуха различных зонах территории г. Новочеркасска;

Таблица 15

Путеводитель для нахождения соответствующей процедуры проверки гипотез

Тема или задача	Данные	Критическая статистика или процедура		Предлагается
		нормальная	непарамет-рическая
Одновыборочная о положении	Одна выборка х1,х2,…,хn	1. t = , Число степеней свободы v=n-1.	Критерий знаков	Проверка гипотезы о равенстве среднего ( Ме) некоторой константе 0 ( Ме0 )
		2..		Доверительный интервал для µ
Одновыборочная о сдвиге	Парные наблюде-ния (xi,yi)	3. t = , S02 = Sx2 + Sy2 – 2 Sxy v = n- 1.	Критерий знаковых рангов Вилкоксона	Сравнение двух выборочных средних (медиан)
Двухвыборочная о сдвиге (положении)	Две выборки х11….х1n , x21…x2n	Дисперсии равны s12 = s22 = s 2: 4. t = , S02 = , v = n1 + n2 - 2 . Дисперсии не равны 5. t = ,v = /,	Ранговый критерий Вилкоксона	Сравнение двух выборочных средних. Проверка гипотезы об однородности двух выборок
Двухвыборочная о рассеянии		6. F=, v1 = n- 1 , v2 = n- 1		Сравнение двух выборочных дисперсий.

-загрязнение БП снежного покрова в районе г. Новочеркасска обследовалось в. с целью выявления основных источников загрязнения атмосферного воздуха БП на изучаемой территории, определения пространственных масштабов влияния выбросов ОАО"НЭЗ'', а также оценки количества БП, выпадающего на окружающую территорию.

Пробы снега были отобраны в различных функциональных зонах территории - в промышленной и санитарно-защитной территории ближайшей к ОАО "НЭЗ" жилой застройки, на удаленной городской территории, а также на периферийных участках при удалении до 30 км от завода. Методические условия бора проб снега выполнены в соответствии с требованиями нормативных документов.

По полученным экспериментальным данным о содержа БП в пробах снега были рассчитаны значения плотности загрязнения БП снежного покрова (г/км²). Данные представлены в таблице 2( прил.1) (данные сокращены). Кроме того, в таблице представлены данные, полученные на основе математического моделирования процессов переноса веществ в атмосфере.

Прогноз уровня загрязнения базируется на информации о величине выбросов, особенностей рельефа города, погодных условий и т.д.

1. Одна генеральная совокупность. Одна случайная величина. Рассмотрим плотность загрязнения БП жилых кварталов Первомайского района. В таблице 16 представлены числовые характеристики распределения, которое считаем нормальным.

Таблица 16

Числовые характеристики	Фактические данные	Прогнозные
	1,38	0,54
	1,743	-

По данным для других городов среднее значение плотности загрязнения равно 0,2 г/км². Проверим утверждение: уровень загрязнения жилых кварталов Первомайского района не отличается от уровня загрязнения других городов.

Для проверки гипотезы о равенстве среднего некоторой константе выполним следующие шаги

1-й шаг. Формирование основной и альтернативной гипотез

Н₀: = ₀=0,2, Н₁: ≠ ₀,

2-й шаг. Задание уровня значимости α=0,05. 3-й шаг. Выбор критической статистики (1) таблица 15.

4-й шаг. Верхняя и нижняя точки критерия находятся из выражений по таблицам распределение t -Стьюдента (таблица 4, приложение 2)

ψ_крн = t _a/2*100% (16 - 1) = -2,13, ψ_крв = - ψ_крн = 2,13.

5-й шаг. Определение расчетного значения критической статистики

ψ_расч = t = =3,58,

Условие

ψ_крн < ψ_расч < ψ_крв, или / ψ_расч/ < ψ_крв, /3,58/<2,13

не выполняется, следовательно, гипотеза Н₀ отвергается с ошибкой первого рода. Наблюдаемый уровень загрязнения превышает уровни загрязнения других городов. Заметим, мы могли бы принять гипотезу Н₀ на уровне значимости α0,002.

Замечание: Доверительный интервал для µ ( формула 2, табл. 15)

,

{1,15, 1,61}

Проверим это же утверждение с помощью критерия знаков.

1-й шаг. Формирование основной и альтернативной гипотез

Н₀: Ме_x = Ме₀=0,2, Н₁: Ме_x ≠ Ме₀.

1-й шаг Рассмотрим величину z_i = x_i –Me₀, i =1,..,n (таблица 17). Гипотеза принимает вид

Н₀: Ме_z = 0, Н₁: Ме_z ≠ 0.

3-й шаг. Определим переменную- счетчик

Q_i=

Таблица 17

Фактическая плотность загрязнения, г/км2	Z
0,53	0,33
4,85	4,65
2,7	2,5
0,1	-0,1
0,29	0,09
0,75	0,55
0,77	0,57
2,15	1,95
2,8	2,6
2,33	2,13
1,97	1,77
1,42	1,22
0,25	0,05
0,3	0,1
0,42	0,22
0,48	0,28

Положим

ψ_кр = D = =15.

Статистика D есть число положительных величин среди z_i , i =1,..,n.

4-й шаг. Верхняя и нижняя точки критерия находятся с использованием процентных точек биномиального распределения b ( , n, p) из выражений

ψ_крн = n - b ( α/2, n, 1/2)=16 - b ( 0,021, 16, 1/2) = 16 – 14 = 2,

ψ_крв = b ( 0,021, 16, 1/2) = 14.

Здесь

α /2= 0,021, α =0,042, р = 1/2.

5-й шаг. В качестве расчетного значения критической статистики используем D.

Условие

ψ_крн < ψ_расч < ψ_крв , 2 < 15 <14

не выполняется, следовательно, гипотеза Н₀ отвергается с ошибкой первого рода. Наблюдаемый уровень загрязнения превышает уровни загрязнения других городов. Заметим, мы могли бы принять гипотезу Н₀ на уровне значимости α <0,003.