Постоянный ток

1

ри Земного шара, грозовые электрические разряды; 2) токи проводимости в веществе; носителями зарядов являются электроны и ио-

ны;

3)токи в вакууме, то есть в областях пространства, в которых вещество отсутствует или имеет очень низкую концентрацию (например, токи электронов в электрон- но-лучевых трубках, элементарных частиц в космических лучах и ускорителях).

Электрические токи обнаруживаются по их воздействию на внешние тела. Эти воздействия таковы:

1)тепловое – токи нагревают тела, по которым проходят;

2)механическое – токи отклоняют магнитную стрелку или другие токи;

3)химическое – токи обеспечивают процесс электролиза в растворах веществ (электролитах);

4)биологическое – токи инициируют сокращение мышц и влияют на жизнедеятельности биологических объектов.

2. Наибольшее практическое значение имеют токи проводимости.

Определение. Ток проводимости – это электрический ток в телах.

Для существования тока проводимости необходимо наличие (1) разности потенциалов между точками тела и (2) свободных носителей электрического заряда в телах.

Тела, в которых возможно существование тока проводимости, называются электрическими проводниками. Они должны находиться в твердом или жидком состоянии. К проводникам относятся металлы и электролиты – растворы солей. В металлах свободными носителями электрического заряда являются электроны, а в электролитах

–ионы (катионы и анионы).

В отсутствие внешнего электрического поля носители заряда внутри проводников тоже движутся, но это движение тепловое, то есть хаотическое. Микротоки, существующие при этом в проводниках, компенсируют друг друга. Внешнее электрическое поле придает всем зарядам компоненту направленного движения, которое накладывается на хаотическое.

Определение. Скорость упорядоченного движения носителей заряда в проводнике с электрическим током называется скоростью дрейфа носителей заряда

vДР.

Определение. Линии, вдоль которых происходит упорядоченное движение носителей заряда в проводнике, называется линиями тока.

Векторы скорости дрейфа направлены по касательным к соответствующим линиям тока.

Правило: за направление тока и линий тока в проводниках принято направление скорости дрейфа носителей положительного заряда (q0 0.

Электростатическим полем положительные заряды перемещаются от точек с бόльшим по модулю потенциалом к точкам с меньшим потенциалом.

В металлических проводниках направление тока противоположно истинному направлению движения электронов – реальных носителей заряда.

3. Основными количественными величинами, применяемыми для описания электрического тока, являются сила тока и плотность тока.

Выделим внутри проводника некоторую точку N и проведем через нее вектор скорости дрейфа vДР и соответствующую линию тока (рис.1.1.2). Затем построим элементарную (бесконечно малую) площадку dS , которая проходит через т.N перпенди-

кулярно вектору vДР: dS vДР.

При наличии тока в проводнике через площадку dS за время dt проходит заряд dq . Очевидно, что

dq dt dq = Idt.

2

Определение. Силой тока в окрестности заданной точки N проводника назы-

вается скалярная физическая величина, равная электрическому заряду, проходящему через элементарную площадку dS за единицу времени:

I = dq /dt.

Если концентрация носителей заряда в проводнике равна n, а каждый носитель имеет заряд q0,

то легко показать, что dq = q0nvДР dS dt. Тогда Рис.1.1.2 плотность тока и сила тока в точке N проводника

описываются выражениями:

j = q0nvДР, j = q0nvДР;

I = jdS = q0nvДР dS .

Основной единицей измерения силы тока является «ампер»: [I] = 1А, а плотности тока – «ампер, деленный на квадратный метр»: [j] = 1А/м2.

Оценка показывает, что при токе I = 1А в проводнике из меди, для которой объемная концентрация валентных электронов n 1028м–3, их скорость дрейфа имеет значение vДР 10 –2м/с. Эта скорость много меньше средней скорости хаотического движения валентных электронов в объеме проводника (vСР 106м/с).

4. На практике очень широко применяют металлические проводники постоянного нормального поперечного сечения: S = idem. Для них линии тока параллельны, а векто-

ры плотности тока во всех точках любого нормального сечения в один и тот же мо-

мент времени одинаковы, то есть, параллельны, направлены в одну сторону и равны по модулю: j S , j = =const. Сила тока в проводниках постоянного сечения складывается из сил тока через все n элементарные площадки dS i, на которые можно разбить любое нормальное сечение S :

5. Определение. Электрический ток называется постоянным, если сила тока

не изменяется со временем.

Из определения силы тока следует, что при постоянном токе через заданное сечение S проводника за равные промежутки времени t проходит одинаковое количество

заряда q :

IПОСТ = const dq = Idt q = Idt = IПОСТ dt = IПОСТ t IПОСТ = q /t.

Для двух проводников разного поперечного сечения S 1 и S 2 при одинаковой силе тока (I1 = I2) модули плотности тока, обратно пропорциональные площадям сечений проводников (j = I/S ) соотносятся согласно следующему выражению:

j1/j2 = S 2/ S 1.

3

1.2Закон Ома для тока в проводнике

1.Электрический ток в проводнике существует при наличии разности потенциалов электрического поля (электростатического напряжения) на концах проводника. Экспериментально связь силы тока с напряжением установил немецкий физик Г.Ом

(1787-1854).

Закон Ома для тока в проводнике: сила тока в однородном проводнике прямо пропорциональна электростатическому напряжению на его концах –

I U I = U.

Коэффициент пропорциональности (греч. «лямбда») называется электрической проводимостью (электропроводностью) проводника.

Но обычно вместо электропроводности используется обратно пропорциональ-

ная ей величина – электрическое сопротивление проводника R 1/.

При этом закон Ома для проводника имеет вид:

I = U/R.

Основной единицей измерения электрического сопротивления является «ом»: [R] = 1В/А = 1 Ом – это сопротивление проводника, в котором при разности потенциалов 1В течет постоянный ток 1А.

2. Опытным путем установлено, что электрическое сопротивление зависит (1) от химического состава проводников, (2) от их формы и размеров и (3) от температуры.

Сопротивление однородного проводника постоянного поперечного сечения прямо пропорционально его длине и обратно пропорционально площади его нормального поперечного сечения:

R = l/S .

Коэффициент пропорциональности в этом выражении является физической характеристикой вещества, из которого состоит проводник, и называется удельным электри-

ческим сопротивлением вещества, из которого состоит проводник.

Единицей измерения удельного сопротивления является «ом, умноженный на

метр»: [ ] = 1Ом м. Наименьшим удельным сопротивлением обладают серебро

( = 1,6 10–8 Ом м) и медь ( = 1,7 10–8 Ом м).

3. Зависимость сопротивления проводника от температуры обусловлена температурной зависимостью удельного сопротивления. При температурах, не слишком отличающихся от нормальной, эта зависимость в первом приближении имеет следующий вид:

= 0(1 + t) = 0T, R = R0(1 + t) = R0T;

здесь и 0, R и R0 – удельные сопротивления и сопротивления проводника при температурах соответственно t и 0 C (T и 273,15К). Коэффициент пропорциональности(1/273)К–1 практически одинаков для всех металлических проводников:

(1/273)К–1 – и называется температурным коэффициентом сопротивления.

Возрастание электрического сопротивления с ростом температуры является основным признаком, согласно которому из всех токопроводящих веществ выделяется группа проводников. Другие группы веществ характеризуются уменьшением сопротивления при увеличении температуры; они составляют группы полупроводников и ди-

электриков.

4. В электротехнических и радиосхемах часто приходится иметь те или иные определенные значения сопротивления проводников. Они устанавливаются путем подбора стандартизованных проводников, которые называются резисторами. Резисторы объединяются в системы. Расчет сопротивления резисторной системы (эквивалентно-

4

го сопротивления системы) основан на зависимостях, которым подчиняются сопро-

тивления двух простейших систем – параллельной и последовательной цепочек ре-

зисторов.

Схема параллельной цепочки резисторов с сопротивлениями R1, R2, R3,.., Rn представлена на рис.1.2.1а: сначала один из двух выводов каждого резистора соединяются и образуют первый узел А, а потом вторые выводы соединяются во втором узле В. На уз-

лы А и В подается напряжение U, одинаковое для всех резисторов:

U1 = U 2 = U 3 = … = U n = U.

К узлу А от положительного полюса источника течет ток силой I. Здесь он делится на токи I1, I2, I3,.., In, которые соединятся в узле В в ток той же первоначальной силы I. То есть сила тока I равна сумме сил тока во всех резисторах:

С другой стороны согласно закону Ома I = U/RПАР, где RПАР – эквивалентное сопротивление параллельной цепочки резисторов. Приравнивая правые части последних выра-

жений, получаем формулу для расчета RПАР: величина, обратно пропорциональная эквивалентному сопротивлению параллельной цепочки резисторов равна сумме величин, обратно пропорциональных их сопротивлениям:

5. Схема последовательной цепочки резисторов с сопротивлениями R1, R2, R3,.., Rn представлена на рис.1.2.1б: резисторы своими выводами соединены подобно вагонам поезда.

Если напряжение подать на свободные выводы крайних резисторов R1 и Rn, то си-

ла тока будет одинакова во всех резисторах:

I1 = I2 = I3 = … = In = I,

а напряжения на каждом из резисторов, согласно закону Ома, зависит от его собственного сопротивления:

Ui = IiRi = IRi.

Очевидно, что напряжение U на концах цепочки равно сумме напряжений на каждом резисторе:

5

С другой стороны, U = IRПОСЛ, где RПОСЛ – эквивалентное сопротивление рассматриваемой цепочки. Приравнивая правые части последних выражений, получаем, что эквива-

лентное сопротивление последовательной цепочки резисторов равно сумме их сопротивлений:

n

RПОСЛ = Ri. i 0

Используя полученные соотношения RПАР и RПОСЛ, можно рассчитать сопротивление любой системы резисторов, постепенно выделяя в ней последовательные и/или параллельные цепочки.

1.3Закон Джоуля–Ленца для тока в проводнике

1.Электрический ток в проводнике существует благодаря работе, совершаемой электростатическим полем по переносу положительного заряда по проводнику:

АR = q (1 – 2) = q U.

При постоянном токе q = I t. Тогда, учитывая закон Ома для тока в проводнике, можно выразить работу электростатического поля через параметры тока:

АR = I 2R t = (U 2/R) t = IU t

2. Дж.П. Джоуль и независимо от него русский физик Э.Х. Ленц (1804-1865) в

1841-42г. экспериментально установили: если ток пропустить по неподвижному

металлическому проводнику, то единственным наблюдаемым эффектом является нагрев проводника, то есть выделение в окружающее пространство теплоты Q.

В этом случае в силу закона сохранения и превращения энергии

QR = АR = I 2R t.

Это равенство является количественным выражением закона Джоуля-Ленца для проводника: количество теплоты, выделившееся в любом проводнике при про-

пускании по нему постоянного тока, равно произведению квадрата силы тока на электрическое сопротивление проводника и на время пропускания тока.

Использование закона Ома позволяет модифицировать выражение закона ДжоуляЛенца:

QR = I 2R t = (U 2/R) t = IU t.

Ясно, что если проводник с током движется под действием магнитного поля (электродвигатель) или в нем протекают химические процессы (электролиз), то работа тока будет превышать количество выделившегося тепла.

Интенсивность выделения теплоты характеризуется мощностью тока – физиче-

ской величиной, равной работе тока за единицу времени:

N A/ t = I 2R = U 2/R = IU.

3. Выделение теплоты объясняется тем, что носители заряда взаимодействуют с кристаллической решеткой проводника и передают ей энергию своего упорядоченного движения.

Тепловое действие тока нашло широкое применение в технике, которое началось с изобретения в 1873г. русским инженером А.Н.Лодыгиным (1847-1923) электрической лампочки накаливания. На этом явлении основано действие электрических муфельных печей, оборудования электродуговой и контактной сварки металлов, бытовых электронагревательных приборов и многое другое.

6

2. Простая электрическая цепь

2.1 Источник постоянного тока. Электродвижущая сила источника тока

1. Если в проводнике (резисторе) на носители заряда действует только сила электростатического поля (как в опыте, иллюстрируемом рис.1.1.1), то происходит перемещение носителей от точек проводника с бóльшим потенциалом к точкам с меньшим потенциалом. Это приводит к выравниванию потенциалов во всех точках проводника и, соответственно, к исчезновению тока.

Основное практическое применение имеют длительные токи, в том числе постоянные. Для существования постоянного тока необходимы устройства, способные создавать и поддерживать на концах проводника постоянную разность потенциалов. Та-

кие устройства называются источниками постоянного тока. В источниках тока про-

исходит непрерывное пространственное разделение положительных и отрицательных зарядов на полюсах источника, что и обеспечивает разность потенциалов на них.

к полюсам источника тока (рис.2.1.1).

Важно, что в отличие от тока в проводнике, внутри источника ток (как движе-

ние положительных зарядов) направлен от отрицательного полюса к положитель-

ному. Это направление называется естественным направлением тока в источнике.

Оно физически правильно отражает суть процессов в источнике тока и соответствует правилу, определяющему направление тока в резисторе, подключенном к полюсам источника.

Роль источника тока подобна роли насоса, который необходим для перекачивания жидкости по трубам гидравлической системы. Формально говоря, источник тока «перекачивает» положительные заряды со своего отрицательного полюс на положительный.

2. Сторонние силы совершают работу АСТОР по разделению и перемещению электрических зарядов внутри источника и созданию электрического поля между его полюсами.

Определение. Электродвижущей силой (ЭДС) источника тока называется физическая величина, равная работе сторонних сил, совершаемой в источнике при производстве единицы положительного заряда:

E АСТОР/q+.

7

Сходство определений ЭДС источника тока и потенциала электрического поля объясняет то, что основной единицей измерения ЭДС так же является «вольт»:

[E ] = 1Дж/Кл = 1В.

3. Основой всех источников тока являются электропроводящие вещества. Поэтому источники обладают электрическим сопротивлением, которое называется внутренним сопротивлением и обозначается буквой r. Внутреннее сопротивление проявляется в нагреве источника в рабочем режиме, то есть при подключении резистора к источнику тока. Количество выделяющегося тепла в источниках тока подчиняется закону ДжоуляЛенца:

Qr = I 2r t.

Внутреннее сопротивление увеличивается с ростом температуры.

2.2Участок электрической цепи. Простая замкнутая цепь

1.Для создания электрических токов резисторы и источники тока необходимо использовать совместно.

Определение. Простыми электрическими цепями называются системы, состо-

ящие из резисторов, источников тока и ключей (коммутаторов), соединенных последовательно.

Определение. Участком простой цепи называется часть простой электрической цепи, содержащая то или иное количество резисторов и/или источников тока.

Определение. Однородным участком простой цепи называется участок, содер-

жащий только резисторы.

Примером однородного участка цепи являются последовательная цепочки резисторов (рис.1.2.1б). Явление постоянного тока в однородном участке цепи, состоящем из резисторов, описывается законами Ома и Джоуля-Ленца для тока в проводнике.

2.Определение. Неоднородным участком цепи называется участок, содержащий последовательно соединенные резисторы и источники тока.

Определение. Сумма сопротивлений резисторов R и внутренних сопротивлений ri источников тока в неоднородном участке простой цепи называется полным сопротив-

лением неоднородного участка цепи.

ков тока в участке.

Определение. Электрическим напряжением на неоднородном участке цепи А-

В называется величина, равная алгебраической сумме внешнего электрического напряжения и ЭДС (суммирование с учетом знаков) источников тока, включённых в участок:

UАВ ( А – В) + EАВ = U + EАВ;

здесь EАВ = E1 + E2+ … – алгебраическая сумма (суммирование с учетом знаков) ЭДС источников тока в участке.

8

Замечание. Видно, что для однородного участка цепи напряжение тождественно равно электростатическому напряжению между точками входа и выхода тока:

(UАВ)ОДНОР ( А – В)ОДНОР = U.

ЭДС Ei в выражении для EАВ являются алгебраическими величинами: значение Ei

берется со знаком «+», если направление тока IАВ в участке цепи совпадает с естественным направлением движения положительных зарядов в i-ом источнике (на рис.2.2.1 E1 0); если же направление тока IАВ противоположно естественному направлению движения положительных зарядов в источнике, то значение Ei берется со

знаком «–» (на рис.2.2.1 E2 0). Таким образом,

EАВ = E1 E2 … .

3. Если проводники неоднородного участка цепи А-В неподвижны, то согласно закону сохранения и превращения энергии, работа электростатической и сторонних сил, действующих в участке, равна теплоте, выделяющейся в резисторе и источниках тока:

ААВ = QАВ.

Рассмотрим участок цепи, содержащий только один источник тока с внутренним сопротивлением r (при этом EАВ = E1). Очевидно, что

ААВ = АR + Аr + АСТОР,

где (АR + Аr) = q+( А – В) – работа электростатических сил при перемещении положительного заряда q+.

Из определения ЭДС следует, что АСТОР = q+E АВ. Тогда

ААВ = q+( А – В) + q+E АВ = q+( А – В) + E АВ = q+UАВ.

С другой стороны, количество теплоты QАВ = QR + Qr и согласно закону Джоуля-Ленца

и определению электрического тока (I t = q+)

QАВ = I 2R t + I 2r t = I (R + r)(I t) = I(R + r)q+.

Приравнивание правых частей последних выражений для ААВ и QАВ дает выраже-

ние обобщенного закона Ома для неоднородного участка цепи:

сила тока в неоднородном участке электрической цепи прямо пропорциональна электрическому напряжению на концах участка и обратно пропорциональна полному сопротивлению участка –

I = ( А – В) + E АВ/(R + r) = UАВ/(R + r).

Отсюда следует, что

UАВ = I(R + r) = IR + Ir UR + Ur,

где UR IR и Ur Ir – электростатические напряжения на резисторе и внутреннем со-

противлении участка цепи. То есть электрическое напряжение на концах неоднородного участка цепи равно сумме электростатических напряжений на резисторе и на внутреннем сопротивлении источника тока:

UR + Ur = ( А – В) + E АВ.

Замечание. Для однородного участка цепи (E АВ = 0, r = 0, Ur = 0) с эквивалентным сопротивлением R обобщенный закон Ома переходит в закон Ома для тока в проводнике:

U = UR = IR.

Замечание. Обобщённый закон Ома выполняется не только для постоянного тока (U = const), но и для любого изменения тока во времени. При этом участок цепи может содержать ещё и другие электрические элементы: (1) конденсаторы с напряжением UC = q/C на их обкладках и (2) соленоиды, создающие ЭДС электромагнитной индукции E i = –LdI/dt. Тогда величины UC и E i должны быть учтены соответственно в левой и правой частях уравнения обобщённого закона Ома:

9

UR + Ur + UC = ( А – В) + E АВ + E i].

Важно помнить, что буквой А обозначается тот конец участка цепи, откуда ток (q 0) втекает в участок.

4. Обобщенный закон Ома указывает на способ измерения ЭДС источника тока. Если ток в неоднородном участке отсутствует (I = 0), то из него следует, что

E АВ = – ( А – В) = ( В – А),

то есть ЭДС, действующая в неоднородной цепи, равна электростатической разности потенциалов на концах цепи в режиме, когда они не замкнуты через другие участки.

Это измерение реализуется путем подключения полюсов источника к клеммам вольтметра.

2.3 Простая замкнутая цепь

1. Определение. Простой замкнутой цепью называется цепь, получающаяся соединением (замыканием) ключом К концов участка простой цепи (рис.2.3.1).

Сопротивление R в простой замкнутой цепи называется внешним сопротивлени-

ем.

Воспользовавшись законом Ома для тока в проводнике, можно определить, какую долю ЭДС E составляет напряжение UR на внешнем сопротивлении R:

I = UR/R UR = I R =E R/(R + r) = E /(1 + (r/R)) = E (1 – (r/R)), при r R.

Видно, что чем больше внешнее сопротивление цепи, тем ближе значение UR к значению E.

Если внешнее сопротивление цепи окажется значительно меньше внутреннего

(R r), то по цепи пойдет ток короткого замыкания:

IКОР = E /r.

Режим короткого замыкания чрезвычайно опасен для источников тока. Их внутреннее сопротивление имеет значения, близкие 1Ом (r 1Ом). Поэтому токи короткого замыкания даже при невысоких ЭДС могут достигать десятков ампер. Выделяющееся при этом джоулево тепло, пропорциональное квадрату силы тока (Q I 2) может вывести источник из строя.