ТМО_ЗАНЯТИЕ 1
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАНЯТИЕ 1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дискретные цепи Маркова |
|
|
|
|||||||
1. Даны матрицы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 2 |
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
0 |
1 |
|
|
0.99 |
0.02 |
0.01 |
|||||||||
P 1 2 1 4 1 4 |
|
P |
1 |
0 0 |
|
P |
P |
0 |
0 |
1 |
|
|||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
1 2 |
0 |
|
|
0.9 |
0.1 |
0.1 |
|
|||||
|
1 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
4 |
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P5 |
0 1 0 |
|
|
P6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
3 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Какие из них могут задавать вероятности перехода Марковской цепи, какие не могут? Почему?
2.В зависимости от атмосферных условий связь между двумя станциями может быть хорошей,
удовлетворительной или плохой (состояния А1, А2, А3). Известно, что если в течение данного часа связь хорошая, то в течение следующего часа с вероятностью 0,6 связь остается хорошей, а с вероятностью 0,3 становится удовлетворительной. Если связь в течение часа удовлетворительная, то в течение следующего часа она с вероятностью 0,4 становится хорошей и с вероятностью 0,1 плохой. Если же связь была плохая, то в следующем часу она с равной вероятностью может стать хорошей, удовлетворительной или плохой. Считая состояния связи Марковской цепью, построить ее матрицу и граф переходов. Сделать тоже для двух состояний связи - плохая, неплохая, понимая под последним состоянием - хорошая или удовлетворительная.
3.На окружности расположены шесть точек E1 , ,E6 равноотстоящих друг от друга. Частица
движется из точки в точку следующим образом. Из данной точки она перемещается в одну из ближайших соседних точек с вероятностью 1/4 или диаметрально противоположную точку с вероятностью 1/2. Выписать матрицу вероятностей перехода и построить граф, соответствующий этой матрице.
4.В мастерскую для ремонта поступают моторы двух типов. Ремонт мотора типа М1 требует одного дня, типа М2 - двух дней. Каждое утро вероятность поступления на ремонт мотора типа М1 равна 1/2 и типа М2 - 1/3. Если день занят ремонтом мотора М2, то отказывают любому заказу. Составить матрицу переходов в двух случаях: при возможности выбора заказа предпочтение отдается: а) ремонту мотора М2, б) ремонту мотора М1.
5.В учениях участвуют два корабля, которые одновременно производят выстрелы друг в друга через равные промежутки времени. При каждом обмене выстрелами корабль А поражает выстрелами корабль В с вероятность 1/2, а корабль В поражает корабль А с вероятностью 3/8. Предполагается, что при любом попадании корабль выходит из строя. Найти матрицу вероятностей перехода, если состояниями цепи являются комбинации кораблей, оставшихся в
строю: Е1 - оба корабля в строю, Е2 - в строю корабль А, Е3 - в строю корабль В, Е4 - оба корабля поражены.
6.Пусть Е1, Е2, Е3- возможные состояния системы и Р - матрица вероятностей перехода из состояния в состояние за один шаг:
1
|
|
E1 |
E2 |
E3 |
|
|
E1 |
|
1 |
0 |
0 |
|
|
P E |
2 |
|
1 2 |
0 |
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E3 |
2 3 |
0 |
1 3 |
|
||
Определить существенные и несущественные состояния. Найти матрицу переходов за два и три шага.
7. Вероятности перехода за один шаг в цепи Маркова заданы матрицей:
|
0 |
1 2 |
1 2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
P 1 2 |
0 |
0 |
1 2 |
. |
|
|
0 |
0 |
1 2 |
1 2 |
|
|
0 |
0 |
1 2 |
1 2 |
|
|
|
||||
Требуется построить граф переходов. Определить существенные и несущественные состояния. Найти матрицу переходов за два шага.
8. Погода на некотором острове бывает дождливой (Д) и сухой (С). Вероятности ежедневных изменений погоды заданы матрицей:
ДС
P |
Д |
0.7 |
0.3 |
|
|
0.4 |
0.6 |
|
|
|
С |
|
а) если сегодня дождь, то какова вероятность, что послезавтра будет сухо?
б) если в среду ожидается дождливая погода, с вероятностью 0,3 , то какова вероятность того, что она будет дождливой в ближайшую пятницу?
9. Марковская цепь с двумя состояниями A1 и А2 задана матрицей переходов:
|
1 3 |
2 3 |
|
P |
|
1 2 |
|
1 2 |
|
||
а) найти вероятность перехода из состояния А1 в А2 за два шага; б) найти вероятность того, что через два шага цепь будет в состоянии А2, если сначала цепь находилась с вероятностью 1/2 в состоянии А2.
10. Матрица вероятностей перехода цепи Маркова имеет вид:
|
0.1 |
0.5 |
0.4 |
|
|
0.6 |
0.2 |
0.2 |
|
P |
|
|||
|
0.3 |
0.4 |
0.3 |
|
|
|
|||
Распределение |
по |
состояниям в момент времени t=0 определяется вектором |
||
p0 (0.7,0.2,0.1) . Найти:
а) распределение по состояниям в момент времени t =2;
б) вероятность того, что в момент времени t=0,1,2,3 состояниями цепи будут соответственно А1 ,
А3, Аз, A2;
в) стационарное распределение.
11. Для цепи, заданной матрицей вероятностей перехода
|
0.6 |
0.4 |
|
. Найти стационарное распределение. |
P |
0.1 |
0.9 |
|
|
|
|
|
12. Доказать, что цепи, задаваемые переходными матрицами вида:
2
1 |
|
|
при 0 1 имеют одно и тоже стационарное распределение. |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||
13. Аппаратура может находиться в рабочем состоянии (А1), в ожидании ремонта (А2), в ремонте (А3). Вероятности перехода из состояния в состояние в течение суток даны в матрице:
A1 A2 A3
A1 |
|
0.9 |
0.1 |
0 |
|
A |
|
0 |
0.1 |
0.9 |
|
2 |
|
|
|
|
|
A3 |
|
0.8 |
0.1 |
0.1 |
|
|
|
В случае эксплуатации станции фирма получает ежедневно 500 руб.; при простое платит неустойку 50 руб. в сутки, сутки ремонта стоят 100 руб. Каков среднесуточный доход фирмы?
14.60% детей выпускников СибГУТИ учатся в СибГУТИ. 30% в других вузах и 10% в вузы не поступают. Дети, родители которых окончили другие вузы, учатся в СибГУТИ - 20%, в других вузах -70%, нигде не учатся - 10%. Для детей, родители которых не имеют высшего образования, эти проценты соответственно, 10, 40, 50. Какова вероятность, что в СибГУТИ будут учиться: а) сын выпускника СибГУТИ; б) его внук; в) его достаточно далекий потомок ?
15.В стране Ландии климат весьма изменчив. Здесь никогда не бывает двух ясных дней подряд. Если сегодня ясно, то завтра с одинаковой вероятностью пойдет дождь или снег. Если сегодня дождь (или снег), то с вероятностью 1/2 погода не изменится. Если же она изменится, то в половине случаев снег заменяется дождем или наоборот и лишь в половине случаев на следующий день будет ясная погода. Требуется:
а) принимая в качестве состояний цепи различные виды погоды Д, Я, С, выписать матрицу перехода; б) построить граф, соответствующий этой матрице;
в) определить вероятности хорошей погоды через три дня после дождя; г) найти предельные вероятности.
16.В любой данный день человек здоров или болен. Если человек здоров сегодня, то вероятность того, что он будет здоров и завтра оценивается в 98%. Если человек сегодня болен, то завтра он будет здоров лишь в 30% случаев. Описать последовательность состояний здоровья как Марковскую цепь. Найти вероятность того, что человек выздоровеет завтра, послезавтра и на третий день, если сегодня он болен.
17. Машина может находиться в одном из двух состояний: Е1 – машина работает хорошо и Е2 – машина нуждается в регулировке. На следующий день работы машина меняет свое состояние в соответствии со следующей матрицей переходных вероятностей:
0.7 0.3 P 0.6 0.4 .
Если машина работает нормально в текущий день и на следующий день, мы имеем прибыль в 40 у.е.; в тех случаях, когда она начинает работу в нормальном состоянии, а на следующий день требует регулировки (либо наоборот), прибыль равна 20 у.е; наконец, если машина не отрегулирована ни в текущий, на следующий день, то потери составят 20 у.е. Найти ожидаемую прибыль за 2 дня.
18. Рассматриваются следующие состояния телефона-автомата: телефон свободен, телефон занят и нет очереди, телефон занят и в очереди один человек, телефон занят и в
3
очереди 2 человека. Предполагается, что третьим в очередь никто не встает, предпочитая
искать другой телефон. В каждую минуту с вероятностью |
1 |
|
может подойти один |
|||
|
|
|
||||
11 |
||||||
|
|
|
||||
человек (больше одного подойти не может), а с вероятностью |
1 |
разговор в данную |
||||
5 |
||||||
|
|
|
|
|
||
минуту заканчивается. С какой вероятностью через 3 минуты в очереди будет один человек, если в настоящий момент времени телефон свободен?
19. Автомашина может находиться в одном из четырех состояний: исправна, неисправна, ремонтируется, списана. Если машина исправна, то с вероятностью 0,8 она может сломаться, если машина неисправна, то она с вероятностью 0,7 ремонтируется или с вероятностью 0,3 списывается; если же машина ремонтируется, то она с вероятностью 0,6 становится исправной, либо с вероятностью 0,4 продолжает ремонтироваться. Остальные переходы считать невозможными. Найти вероятность того, что машина будет исправна в субботу, если известно, что она была исправна в среду.
Ответы:
1. P2, P5, P6 могут, остальные нет.
|
|
0,6 |
0.3 |
0.1 |
|
|
|
|
||
2. |
|
0.4 |
0.5 |
0.1 |
|
|
0,9 |
0,1 |
||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2 3 |
1 3 |
|||
|
|
1 3 |
1 3 |
1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
0 |
1 4 |
0 |
|
1 2 |
|
0 |
1 4 |
|
|
|
|
0 |
1 4 |
|
0 |
|
1 2 |
0 |
|
|
1 4 |
|
|
|
||||||
3. |
|
0 |
1 4 |
0 |
1 4 0 |
1 2 |
|
|||
|
1 2 |
0 |
1 4 |
|
0 |
|
1 4 |
0 |
|
|
|
|
0 |
1 2 |
0 |
|
1 4 |
|
0 |
1 4 |
|
|
|
|
0 |
1 2 |
|
0 |
|
1 4 |
0 |
|
|
1 4 |
|
|
|
||||||
4.Состояния: 1 – нет работы, 2 – работа над мотором М1, 3 – первый день работы над мотором М2, 4 – второй день работы над мотором М2
|
1 3 |
1 3 |
1/ 3 |
0 |
|
1 3 |
1/ 2 |
1/ 6 |
0 |
|||||
|
|
|
0 |
1/ 3 |
0 |
|
|
|
|
1/ 2 |
1/ 6 |
0 |
|
|
а) |
1/ 3 |
|
б) |
1/ 3 |
|
|||||||||
|
0 |
0 |
0 1 |
|
|
0 |
0 |
0 1 |
|
|||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 3 |
1 3 |
1/ 3 |
0 |
|
|
|
1 3 |
1/ 2 |
1/ 6 |
0 |
|
|
|
|
5 16 |
5 16 |
3 16 |
3 16 |
|
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
5. |
|
|
||||
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
||||
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
6. |
|
E1 – существенное |
|
||||
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
P |
2 |
|
|
17 /18 |
0 |
1/18 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
26 / 27 |
0 |
1/ 27 |
|
|
|
|
|
|
|||
4
7. E3, E4 – существенные |
|
||||||
|
1/ 4 |
0 |
1/ 4 |
1/ 2 |
|
||
P2 |
|
0 |
1/ 4 1/ 2 |
1/ 4 |
|
||
|
|
||||||
|
|
0 |
|
0 |
1/ 2 |
1/ 2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
0 |
|
0 |
1/ 2 |
1/ 2 |
|
8. |
а) 0,39; |
б) 0,547; |
||
9. |
а) 5/9; |
б) 41/72. |
||
|
|
|
|
|
10. |
|
|
|
а) |
|
|
p0 P2 0.385,0.336,0.279 |
|
|
б) |
|
P P |
P |
P |
|
0.0336 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
13 |
33 |
32 |
|
|||
в) |
16 |
|
|
17 |
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
47 |
|
|
47 |
|
47 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
11. |
1 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
5 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
12. |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
c ci Pi |
380 руб. |
||||||
13.Стационарное распределение |
|
, |
|
|
, |
|
|
|
; |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 10 |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
14. |
|
|
|
а) |
|
|
0.6; б) 0.43; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
19 |
|
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
в) стационарное распределение |
|
|
, |
|
|
|
, |
|
|
. Искомая вероятность 11/36. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36 |
|
36 |
|
6 |
|
|
|
|
||||||
ДЯ С
15. a) |
Д 1 2 |
1 4 |
1 4 |
|
в) |
13 |
; г) (0.4; 0.2; 0.4). |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|||||
|
Я 1 2 |
0 |
1 2 |
|
|
64 |
|
С1
4 1
4 1
2
16.0.3, 0.504, 0.643
17.39.8 у.е.
18.0.016
10 /11 |
1/11 |
0 |
0 |
|
|
|
2 /11 |
41/ 55 |
4 / 55 |
0 |
|
P |
|
||||
|
0 |
2 /11 |
41/ 55 |
4 / 55 |
|
|
|
||||
|
0 |
0 |
2 /11 |
9 /11 |
|
19. 0.344
|
0.2 |
0.8 |
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
0.7 |
0.3 |
|
P |
|
||||
|
0.6 |
0 |
0.4 |
0 |
|
|
|
||||
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
5