4 Методические указания

По пункту 1 задания.

Для определения спектра весов помехоустойчивого кода можно найти все разрешенные кодовые слова данного кода, например, путём деления информационных символов на производящий многочлен данного кода g(x). Производящий многочлен циклического кода (7,3) можно найти в [1, приложение А]. Тогда вес каждого кодового слова w определяется числом единиц в этом слове, а каждая спектральная компонента S_w определяется числом кодовых слов одинакового веса. Спектр весов кода – это зависимость S_w=f(w).

Обнаруживающая и исправляющая способность помехоустойчивых кодов тесно связана с расстояниями между разрешенными кодовыми словами. Расстояние между любой парой кодовых слов ивыражает различие между ними

, (1)

где , -координаты кодовых слов,в-мерном пространстве L_n.

Если код является двоичным, под расстоянием между парой кодовых слов понимается количество символов, в которых они отличаются между собой. Оно определяется сложением двух этих слов по модулю 2 и равно числу единиц в этой сумме. Например:

Знак означает сумму по модулю 2(сложение по модулю два выполняется по правилу:,,,).

Напомним, что геометрической моделью -символьного двоичного кода является-мерный куб с ребром, равным единице, каждая вершина которого представляет одно из возможных кодовых слов. Расстояние между словамиd_ijравно числу ребер куба, отделяющих одну вершину от другой. Наименьшее расстояние между любой парой разрешенных слов данного кода называетсякодовым расстоянием

d =mind_ij. (2)

Число ошибочных символов в принятом кодовом слове называется кратностью ошибки t, при длине кодового слова изn символов она изменяется в пределах от 0 доn.

Так как кратность ошибки в геометрическом представлении является расстоянием между переданным и принятым словоми, то для обнаружения ошибок кратностиt_обтребуется кодовое расстояние, равное

. (3)

Для исправления ошибок кратности t_истребуется кодовое расстояние

. (4)

Это означает, что для исправления ошибок искаженное кодовое слово должно располагаться ближе всего к соответствующему правильному слову.

Вероятность ошибки кратности tв кодовом слове для (t= 0,1,2 … n) называется распределением кратностей ошибокP_n(t), которое для двоичного канала с независимыми ошибками в кодовых символахpопределяются биномиальным законом

P_n(t) = C_n^t p^t(1- p)^n-t , (5)

где - биномиальныeкоэффициенты.

Если распределение кратностей ошибок определяется на выходе декодера, то n=k, где- число информационных символов в кодовом слове.

Свойства кода по обнаружению и исправлению ошибок количественно характеризуются коэффициентами обнаружения K_оби исправления ошибокK_ис, которые показывают, во сколько раз уменьшается вероятность ошибки после декодирования по сравнению с её величиной на входе приемного устройства (декодера), благодаря обнаружению ошибок или их исправлению соответственно. Ошибки в кодовых словах могут иметь произвольную конфигурацию, что определяется случайным характером помех в канале связи.

Если это вероятность ошибки кратностиt 1 вn символьном кодовом слове на входе декодера, аP_об- вероятность обнаружения ошибок в декодере, токоэффициент обнаруженияопределяется следующим выражением

. (6)

В двоичном канале с независимыми ошибками вероятность хотя бы одной ошибки в кодовом слове равна

. (7)

Коэффициент исправления ошибок будет определяться выражением

, (8)

где P_ис - вероятность исправления ошибок в декодере.

Вероятность P_исчисленно равна вероятности ошибок в кодовом слове, кратность которых не превышает величины кратности гарантированно исправляемых ошибокt_ис, то естьP_ис =P_вх(t_ис,n).

Коэффициент исправления кода всегда меньше коэффициента обнаружения, что является общим условием для любых помехоустойчивых кодов.

Коэффициент исправления ошибок на символ равен отношению вероятности ошибки на входе декодера, которая равна вероятности ошибки в канале, к вероятности ошибки на выходе декодера.

, (9)

Если <<1, то.

По пункту 2 задания.

Зависимость вероятности ошибки в канале с постоянными параметрами и гауссовским шумом от отношения сигнал/шум для различных видов модуляции при передаче двоичных сигналов с вероятностями p(0)= p(1)= 0,5 рассчитывается по известным из теории электрической связи формулам, приведённым в таблице 4 (для построения графика* зависимости p = f(h) следует рассчитать не менее пяти точек).

В формулах таблицы 4 :

Ф(х) – интеграл вероятностей (приложение 1),

h²=H_p=P_c /P_ш- отношение сигнал/шум,

P_ш - дисперсия (мощность) помехи,

H_p– обозначение отношения сигнал/шум в [ 2 ] для регулярной составляющей сигнала.

Таблица 4 Формулы для вычисления вероятности ошибки

Способ	Вероятность ошибки p
модуляции	К Г прием	Н К Г прием
ДАМ		0,5 exp(-h2/4)
ДЧМ		0,5 exp(-h2/2)
ДФМ		НКГ прием невозможен
ОФМ		0,5 exp(-h2)

*Примечание:

Отношение сигнал/шум следует изменять от 0 до такого значения, при котором получается настолько малая вероятность ошибки, что имеющихся таблицы (приложение 1) не хватает для ее нахождения. Все вычисления данной зависимости свести в таблицу. На графике значения отношения сигнал/шум откладывать в линейном масштабе, а значения вероятностей ошибок - в логарифмическом. График располагается под осью абсцисс в четвёртом квадранте. Самая верхняя точка (начало координат) соответствует вероятности, равной единице. Чем меньше вероятность ошибки, тем ниже на оси ординат располагается соответствующее значение вероятности.

По пункту 3 задания.

Этот пункт задания выполняется экспериментально с помощью автоматизированного рабочего места (АРМ) проектирования и исследования СПИ (Программное обеспечение АРМ представляется кафедрой при выдаче задания. Может работать на любом компьютере на основе IBM 486 и выше под управлением MS-DOS, Windows 95 и т.д.). Необходимо составить структурную схему СПИ в соответствии с пунктом 1 задания и построить модель этой структуры в АРМ.

Необходимо сделать правильный выбор объема статистических испытаний , с одной стороны, это позволяет экономно использовать машинное время ЭВМ, а с другой – обеспечить заданную в массиве исходных параметров точность определения оцениваемых величин.

Минимальное количество кодовых слов (или блоков) N_Вдля статистических исследований дискретного канала (ДК) или устройства защиты от ошибок (УЗО, кодека) в зависимости от средней вероятности ошибкиP(на выходе канала или на выходе УЗО) определяется выражением [1]

, (10)

где n- длина кодового слова;_P- погрешность оценки в долях оцениваемой вероятностиP; например, если_P= (0,1÷0,15)P, то точность оценки вероятности составляет (10÷15) % ; определяется из двухсторонней статистики с нормированным нормальным распределением [ 7 ]

(1-) = Ф(z_) ,

(1-) - мера надежности оценки, или вероятность того, что истинное значение определяемого среднего отстоит от его оценки не более, чем на величину_P.

Например, если выбрать достаточно малым, так что (1-) = 0,997 , то значение= 2,95 (приложение 1).

Для доверительной оценки измеряемой величины необходимо найти доверительный интервал d_ , который накрывает измеренную величину с заданной вероятностью (1-)

. (11)

По пункту 4 задания.

Этот пункт задания выполняется экспериментально с помощью АРМ проектирования и исследования СПИ. Необходимо составить структурную схему СПИ в соответствии с пунктом 2 задания и вариантом таблицы 3. Построить модель этой структуры в АРМ.

Рассчитать необходимый объём статистических испытаний по формуле (10) так, чтобы _P- погрешность оценки измеряемых величин не превышала (1020) %. Выполнить статистические испытания СПИ с заданным корректирующим кодом не менее, чем для пяти значений отношения сигнал/шум.

Выигрыш от кодирования можно определить по формуле

(12)

где p_вх и p_вых – вероятности ошибок в кодовых символах на входе и выходе декодера (в таблицах результатов испытаний АРМ этим вероятностям соответствуют эквивалентные вероятности на входе и выходе УЗО).

Составить структурные схемы кодера и декодера заданного кода.