4. Задача сортировки последовательностей

Пусть дана последовательность S=S₁S₂ …S_n , т.е. совокупность данных с последовательным доступом к элементам. Примерами такой последовательности могут служить файл на магнитной ленте, линейный список:

Необходимо переставить элементы последовательности так, чтобы выполнялись неравенства:S₁≤ S₂ ≤ … ≤ S_n Последовательный доступ означает, что любой элемент списка может быть получен только путём просмотра предыдущих элементов, причём просмотр возможен только в одном направлении. Это является существенным ограничением по сравнению с массивом, где можно было обратиться к любому элементу массиву, используя индекс. Поэтому методы сортировки, разработанные специально для массивов, не годятся для последовательностей, в то время как методы сортировки последовательностей используются и для сортировки массивов. Трудоемкость методов сортировки последовательностей измеряется количеством операций, затрачиваемых на сортировку. Характерными операциями при сортировке последовательностей являются операция сравнения элементов и операция пересылки элемента одной последовательности в другую. Как и прежде будем обозначать количества операций сравнения и пересылки С и М соответственно.

5. Теорема о сложности сортировки

При изучении различных методов сортировок возникает закономерный вопрос о построении метода сортировки с минимально возможной трудоемкостью. Следующая теорема устанавливает нижнюю границу трудоемкости для сортировки массива из n элементов.

Теорема. Если все перестановки из n элементов равновероятны, то любое дерево решений, сортирующее последовательность из n элементов имеет среднюю высоту не менее log(n!).

Приведем нестрогое доказательство. Рассмотрим дерево решений для трех элементовa, b, c.

Рисунок 1 Дерево решений для 6 элементов

Все возможные перестановки – это листья дерева (6 вариантов). Чтобы получить конкретную перестановку нужно сделать два или три сравнения. Оценим среднее количество сравнений, необходимых для упорядочивания массива или срденюю длину пути от корня дерева до листьев. Для этого посчитаем сумму длин всевозможных путей от корня до листьев (длина внешнего пути двоичного дерева) и поделим ее на количество листьев С_ср= (2+3+3+3+3+2)/6=2,6.

Из теории графов известно, что длина внешнего пути двоичного дерева с m листьями D(m)≥m log m. Поскольку в общем случае на дереве имеется n! листьев. Тогда С_ср≥n! log(n!)/n!=lоg n! > n log n–n log e. Последнее неравенство является известной нижней оценкой для значения факториала. Таким образом, не существует алгоритма сортировки n элементов, использующего в среднем меньше чем (n log n – log e) операций сравнения. Класс сложности n log n является предельно достижимым для алгоритмов сортировки с использованием операций сравнения. Что касается количества пересылок, то если мы определим требуемую перестановку, и имеем память для второй копии массива, то достаточно сделать n пересылок. На сегодняшний день алгоритм, требующий nlogn сравнений и n пересылок, неизвестен.