Вопросы для самопроверки

1. Выведите формулы для коэффициентов ряда Фурье.

2. Сформулируйте достаточные условия разложимости функции в ряд Фурье. Приведите примеры функций, удовлетворяющих и не удовлетворяющих этим условиям.

3. Выведите формулы для коэффициентов ряда Фурье для четных и не четных функций.

4. Представьте ряд Фурье в комплексной форме.

4. Уравнение математической физики.

К решению волнового уравнения сводятся задачи о поперечных колебаниях струны и продольных колебаниях стержней, о звуковых и электромагнитных колебаниях, о колебаниях газа и многие другие задачи о распространении колебаний в однородной среде. К решению уравнения теплопроводности сводятся задачи о распространении тепла в однородной среде, о фильтрации жидкостей или газов и др. задачи.

Пример. Найти решение уравнения с частными производными

удовлетворяющее краевым условиям:

Решение: Пользуясь методом Фурье, полагаем

Тогда заданное уравнение преобразуется к виду и распадается на два уравненияирешая которые, найдем

где и- произвольные постоянные.

Используя условие получимоткуда следует:

Каждому значению соответствует частное решение

сумма которых также будет решением данного уравнения

()

Используя условие при, получим для определенияравенство

Это равенство есть разложение в интервале (0, 1) данной функции в неполный ряд Фурье, содержащий только синусы. Поэтому

(**)

Таким образом, сумма ряда (*), коэффициенты которого определяются формулами (**), есть частное решение данного уравнения, удовлетворяющее данным краевым условиям.

Вопросы для самопроверки.

1. Дайте классификацию уравнений с частными производными второго порядка. Приведите примеры.

2. Выведите уравнение колебаний струны. Сформулируйте краевую задачу о колебаниях струны, закрепленной на концах.

3. Изложите метод Фурье нахождения решения краевой задачи о колебаниях струны, закрепленной на концах.

4. Выведите уравнение распространения теплоты в стержне. Сформулируйте краевую задачу.

5. Изложите метод Фурье для нахождения решения уравнения теплопроводности.

Контрольная работа . Ряды. Уравнения математической физики.

1. Числовой ряд исследовать на абсолютную и условную сходимость. Для функционального ряда найти область сходимости и исследовать на границе области.^*

1	а)	б)	в)
	г)	д)
2	а)	б)	в)
	г)	д)
3	а)	б)	в)
	г)	д)
4	а)	б)	в)
	г)	д)
5	а)	б)	в)
	г)	д)
6	а)	б)	в)
	г)	д)
7	а)	б)	в)
	г)	д)
8	а)	б)	в)
	г)	д)
9	а)	б)	в)
	г)	д)
10	а)	б)	в)
	г)	д)
11	а)	б)	в)
	г)	д)
12	а)	б)	в)
	г)	д)
13	а)	б)	в)
	г)	д)
14	а)	б)	в)
	г)	д)
15	а)	б)	в)
	г)	д)
16	а)	б)	в)
	г)	д)
17	а)	б)	в)
	г)	д)
18	а)	б)	в)
	г)	д)
19	а)	б)	в)
	г)	д)
20	а)	б)	в)
	г)	д)
21	а)	б)	в)
	г)	д)
22	а)	б)	в)
	г)	д)
23	а)	б)	в)
	г)	д)
24	а)	б)	в)
	г)	д)

2. Найти сумму ряда.^*

1	а)	б)
	в)	г)
2	а)	б)
	в)	г)
3	а)	б)
	в)	г)
4	а)	б)
	в)	г)
5	а)	б)
	в)	г)
6	а)	б)
	в)	г)
7	а)	б)
	в)	г)
8	а)	б)
	в)	г)
9	а)	б)
	в)	г)
10	а)	б)
	в)	г)
11	а)	б)
	в)	г)
12	а)	б)
	в)	г)
13	а)	б)
	в)	г)
14	а)	б)
	в)	г)
15	а)	б)
	в)	г)
16	а)	б)
	в)	г)
17	а)	б)
	в)	г)
18	а)	б)
	в)	г)
19	а)	б)
	в)	г)
20	а)	б)
	в)	г)
21	а)	б)
	в)	г)
22	а)	б)
	в)	г)
23	а)	б)
	в)	г)
24	а)	б)
	в)	г)

3. Найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравненияудовлетворяющего начальному условию

1) ;		2) ;
3) ;		4) ;
5) ;		6) ;
7) ;		8) ;
9) ;		10);
11) ;		12) ;
13) ;		14) ;
15);		16) ;
17) ;		18) ;
19) ;		20) ;
21) ;		22) ;
23) ;		24) ;