Типовик 2 семестр ч3

ГЛАВА 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

67

3 уровень

а) 2

x3

dx;

б) 3

x3

1 6x2 210x 1 52

dx;

(x 1 1)(x 1 2)

(x 2 2)(x 1 2)3

в) 3

12x3 2 3x2 2 3x 2 2

dx.

(x2 21)(x2 2 2x 21)

6. Вычислить интегралы от тригонометрических функ

ций:

1 уровень

а) 1 cos2xcos3xdx;

б) 2

dx

в) 1 sin2 xdx.

;

7 1 4sinx

2 уровень

а) 1 cos2 xsin2 xdx;

б) 1 sin3 2xcos3 2xdx;

в) 2

dx

.

9sin2 x 1 4

3 уровень

а) 1 cos6 xdx;

б) 1 tg5 3xdx;

в) 2

sin3 x

dx.

cos

3

x 1

3

7. Вычислить интегралы от иррациональных функций:

1 уровень

а) 3

dx

;

б) 2

dx

;

в) 3

dx

.

(x 1

2

x

2

1 2x 2

5

3

3

2

x 1 2

4)

x 1 4

2 уровень

а) 3

3 1 x

dx; б) 2x2 9 1 x2 dx;

3 2 x 1 x

2

в) 4

x 3 3 x2 3 6 x

dx.

x113 3 x 2

3 уровень

а) 2

xdx

б) 2

x2

1

11 x

в) 2

dx

;

dx;

.

(9 1 x2 )3

3 x 1 2 1 x 1 2

3 11 x

68

ПРАКТИКУМ И ЗАДАНИЯ ПО ИНТЕГРАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ

1 уровень

а) 1 x8dx;

б) 18cosxdx;

в) 2(5x 1 sinx)dx;

г) 1

x6

dx.

x8

2 уровень

а) 4

1x3 3

1

2dx;

б) 418

37cosx2dx;

в) 2

x 1 8

dx.

2

x

3

cos

x

x

3 уровень

а) 3

x 1 x 2 x2 2 x3

б) 8

1

1

2

dx;

43tgx 3

5dx.

16 316x

2

x

3

6

7

а) 1

dx

;

б) 1 e8xdx;

в) 1 ctg8xdx;

г) 2

dx

.

sh2 3x

8x 1 5

2 уровень

dx

а) 2(cos8x 1 e3x )dx;

б) 2sin(3 1 8x)dx;

в) 2

.

(5 1 2x)2

3 уровень

4

cos(8x 3 5)

а) 517 e4x

4

3 85x 4 sh3x2dx;

3

а) 2

8arctgx

б) 2

cosxdx

в) 2

2x

dx.

1 1 x2 dx;

;

11 x2

1 1 sin2 x

ГЛАВА 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

69

2 уровень

а) 1

tg

x

б) 2

в) 15x

2

dx;

x4 1 x2 dx;

xdx.

x

3 уровень

а) 2

x 1 lnx

dx; б) 3

arcsin3 x 1 8

dx;

x

1 2 x2

в) 2

x 1 arctg8x

dx.

1 1 x2

1 уровень

а) 1 x8x dx;

б) 1 8xcosxdx;

в) 1 ln6xdx.

2 уровень

а) 2

ln(x 1 1)dx

;

б) 2(x 1 6)sin8xdx;

(x 1 1)

3

в) 2arcctg

8x 11dx.

3 уровень

а) 1 ex cos2xdx;

б) 1 x2 cos2xdx;

в) 1ln2 xdx.

а)

dx

;

б)

dx

;

в)

3

dx

.

2

9x2 1 x

2 x2 1

4x 1

3

(x 1 4)(x 2

1)

2 уровень

dx

а) 3

2x 15

б) 2

dx

2

dx;

;

в)

.

3x(x 1 2)2

x2 2 2x 2 10

x3 1 64

3 уровень

а) 3

x3 1 3x2 112

б) 3

x3 1 6x2 1 13x 1 6

dx;

dx;

(x 2 2)(x 1 2)3

x2 17x 212

в) 2

x3 1 x 1 1

dx.

(x2 1 4x 1

4)(x2 1 1)

а) 1 sin3xcosxdx;

б) 2

dx

1 cosxsin3 xdx.

; в)

7 1 2cosx

2 уровень

а) 1 cos

4

4

б) 2

cos3 x

в) 2

dx

xsin

xdx;

dx;

.

2 1 sin2 x

1 1 sinx

3 уровень

а) 2(1 1 3cos2x)3 dx;

б) 2(tg2x 1 tg4x)dx;

в) 1

sin5 x

cosx dx.

а) 2

dx

; б) 2

dx

;

в) 2

x 1 2

dx.

x2 1 8x 1 5

3 x2 1 3x

x 1 3

2 уровень

а) 3

6x 1 1

dx;

б) 3

4 1 x2 2 2xdx;

в) 2

dx

.

x 2 x2

x2

x2 1 100

3 уровень

а) 2

dx

;

б) 2

3 1 1

4 x

dx;

в) 2

dx

.

x

2

(x

2

3

1 9

x

2

x

2

x

3

x

11)

9

а) 1 9x dx;

б) 19tgxdx;

в) 2(x5 1 cosx)dx; г) 1

x

dx.

x

2 уровень

1

7

2

1

б) 8

9sinx 3

а)

ex

3

dx;

4

5dx;

4

1

sin2 x 2

6

x3 7

8

1

9

3

3 x 2

в)

4

5dx.

31

x2

6 x2

7

ГЛАВА 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

71

x

3

1 x 1 x

3

2 x

9

б) 9

1

39

x

4

1

2

а)

3

dx;

5

6dx.

813

81x

2

x

7

8

а) 1

dx

;

б) 149x dx;

в) 1 tg9xdx;

г) 2

dx

.

2

1

1

9x

cos 9x

2 уровень

а) 3(sin9x 2 e1x )dx;

б) 2cos(4 1 9x)dx;

в) 2

dx

.

1 1 3x

3 уровень

а) 51

3

93x 4

ctg(9x 3 5)

4 e9x 3 ch9x2dx;

5

2

1arcctgx

а) 3 e12 x2

dx;

б) 2(x2 1 2)3 xdx;

в) 1 9cosx sinxdx.

2 уровень

а) 1

cos3 x

б) 2

xdx

в) 2x2 3 4 1 3x3 dx.

dx;

;

3 x2

(x2 1 9)2

3 уровень

а) 2

tg2x 11

dx;

б) 3

arccos9 x 1 2x

dx;

12 x2

cos2 x

в) 3

x 1 arctg2x

dx.

1 2 x2

1 уровень

а) 1 x9x dx;

б) 1 9xcosxdx;

в) 1 ln9xdx.

2 уровень

а) 2(x 1 3)sin9xdx; б) 1 x4 lnxdx;

в) 2arctg 9x 11dx.

3 уровень

а) 2e1x sinxdx;

б) 1 x2 sin9xdx;

в) 1 x9 ln2 xdx.

а)

dx

;

б)

dx

;

в)

dx

.

2 x2

1 6x

2 x2 1

4x 1

5

3 (x 1 5)(x

2

3)

2 уровень

а) 3

6x 11

dx;

б) 2

dx

;

в) 2

dx

.

x(x 1 6)2

x2 1 9x 2 20

x3 1 2x

3 уровень

а) 3

3x3

1 2x2 11

dx;

б) 2

x3 1 6x2

1 13x 1 8

dx;

(x 2

2)(x 21)

x(x

1

3

2)

в) 2

x2 1 x 1 3

dx.

(x

1

2

2 1

1

1) (x

x

1)

а) 1 sin3xsin5xdx; б) 2

dx

в) 1 cos2 xsinxdx.

;

9 1 cosx

2 уровень

а) 1 cos2 xsin4 xdx; б) 1 sin3 xcos5 xdx; в) 2

dx

.

5 1 4cos2 x

ГЛАВА 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

73

3 уровень

а) 2

sin2 x

dx;

б) 1 tg5 4xdx;

в) 2

cosx

dx.

2

1

1

1 cosx

cos x 1

7. Вычислить интегралы от иррациональных функций:

1 уровень

а) 2

dx

;

б) 2

dx

;

в) 2

x 1 1

dx.

1 1 2x 1 x

2

3

x 1

3

x

x 1 2

2 уровень

а) 2

(5x 1 4)dx

б) 3

;

3 1 x2 2 2xdx;

x2 1 2x 1 5

в) 3

dx

.

2/3

2 (x 1

1/2

(x 1 5)

5)

3 уровень

а) 2

x2dx

б) 2

3

11 3 x2

в) 2

3

1 1 4 x

;

dx;

dx.

x2 1 1

9 x17

x

1 уровень

а) 1 x10

2dx;

б) 110cosxdx;

в) 41

x3 3 2tgx2dx;

г) 1

9

x3

x2

dx.

2 уровень

51

2

8

1

25

2

x2

4

9

6

x3

7

а)

3 x8

3

1

dx;

б)

49shx 3

5dx;

ГЛАВА 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

75

1 уровень

а) 1 x10x dx;

б) 2(x 1 2)sinxdx;

в) 1 lnx7dx.

2 уровень

а) 2(9x 1 3)cos10xdx;

б) 1 x3 ln5xdx;

в) 2arcsin 11 9x2 dx.

3 уровень

а) 2e1x sinxdx;

б) 1 x2 cos10xdx;

в) 1 xln2 xdx.

а)

dx

;

б)

dx

;

в)

dx

.

2 x2

1 2x

2 x2

1 3x 1

9

3 (x 1 4)(x 2

3)

2 уровень

а) 3

x 1 8

б) 2

dx

2

dx

dx;

;

в)

.

x(x 1 7)2

x2 1 9x 2 8

x3 1 64

3 уровень

а) 3

x3 1 3x2 112

б) 2

x3

1 6x2 1 14x 1 10

dx;

x2 1 5x 2 6 dx;

(x 1 1)(x 1 2)3

в) 2

2x3 1 4x2 1 2x 1 2

dx.

(x

2

2

1 x

1 2)

1 1) (x

76

ПРАКТИКУМ И ЗАДАНИЯ ПО ИНТЕГРАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ

2 уровень

а) 1

dx

;

б) 1

sin3 x

dx;

cos

4

2

x

3x

cos

в) 2

dx

.

3sin

2

x 1

2

4cos x 11

3 уровень

а) 2(1 1 2cos5x)3 dx;

б) 1 cos4 3xsin4 3xdx;

в) 2

cos5 xdx

1 1 sin2 x.

7. Вычислить интегралы от иррациональных функций:

1 уровень

а) 2

dx

;

б) 2

x 11 11

dx; в) 3

x 1 2 11

dx.

x

2

3

1 10x 1 5

x 11

x 1 2 21

2 уровень